2.4. ГРАДИЕНТНАЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦЫ

Система навигационных уравнений, решаемая относительно координат и скоростных составляющих, записывается с использованием выражений навигационных функций. Обычно эти уравнения нелинейные. Для линеаризации решаемых уравнений применяют разложение функций

в ряд в окрестностях расчетных значений их аргументов по степеням малых отклонений определяемых параметров. При таком разложении в уравнения войдут частные производные типа

Представим производную в виде

где система некоторых промежуточных координат, и рассмотрим последовательно полученные совокупности частных производных типа

Частные производные типа образуют матрицу-строку

которая характеризует изменение навигационной функции с изменением текущих координат П и называется градиентной матрицей 1-го рода. Это название отражает следующую геометрическую интерпретацию частных производных типа (2.9). Учтем, что свойства поверхностей положения можно характеризовать градиентами Примем за промежуточные геоцентрические координаты и представим производил

или, используя (2.6), в виде

Последние соотношения показывают, что частные производные рассматриваемого типа выражаются через модуль градиента и направляющие косинусы, определяющие ориентацию градиента поверхности положения. Следовательно, они представляют собой компоненты градиента поверхности положения, а их совокупность имеет значение градиентной матрицы.

Обратимся к частным производным вида которые характеризуют изменение промежуточных координат с изменением определяемых параметров Совокупность их будет включать 36 элементов, образующих квадратную матрицу. Если выбрать в качестве промежуточной системы геоцентрические прямоугольные координаты и их производные, а в качестве определяемых параметров движения — кеплеровы элементы, то образуется матрица

Эту матрицу можно рассматривать как совокупность частных производных от текущих координат и их производных НИСЗ по начальным условиям движения. Называется она фундаментальной матрицей 1-го рода.

Анализ фундаментальной и градиентной матриц позволяет выявить общие и видовые особенности методов навигации и путем оценки точностных характеристик сравнить информативность различных методов.

Фундаментальная матрица для всех навигационных методов будет одинаковой, поэтому можно считать, что она выражает общие свойства методов.

В противоположность этому градиентная матрица будет своей для каждого из методов, вследствие чего можно считать, что она отражает видовые свойства методов. Эта матрица показывает, как будут изменяться навигационные параметры с изменением геоцентрических прямоугольных координат точки наблюдения.

Один из способов оценки точностных свойств навигационных методов состоит в использовании числовых характеристик, вычисляемых через матрицу частных производных вида Специально этот вопрос рассматривается в гл. 16.