15.3. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ГАУССОВСКОГО ФИЛЬТРА 2-ГО ПОРЯДКА

Применительно к дальномерным СРНС неточность задания математической модели канала измерения может проявляться в том, что при определенных априорных погрешностях координат П пренебрежение нелинейностью в функции измерения дальности приводит к расходимости рекуррентного фильтра.

Рассмотрим рекуррентный метод решения навигационной задачи применительно к неподвижному П при нулевых погрешностях положений НИСЗ. При этих условиях уравнения фильтра Калмана (15.4)-(15.8) примут вид

Одно из основных допущений, сделанное при выводе этих выражений, состояло в использовании линеаризованного уравнения канала измерения. Применение метода линеаризации правомерно только тогда, когда диапазон изменения аргументов навигационной функции достаточно мал. На практике это условие не всегда может выполняться, - и тогда пренебрежение нелинейными членами разложения приводит к несоответствию между вычисленными значениями корреляционной матрицы и истинными погрешностями навигационных определений, что нарушает оптимальность обработки последующих результатов измерений и вызывает расходимость рекуррентных алгоритмов. Один из наиболее естественных способов сохранения оптимальности обработки состоит в учете при разложении нелинейной функции в ряд Тейлора не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения более высокого порядка:

где

Если в (15.20) сохранить члены разложения до квадратичного включительно, то условное математическое ожидание и априорное значение дисперсии примут вид

где след матрицы. Последние члены в (15.21) и (15.22) представляют собой поправки на нелинейность функции.

Чтобы уравнения (15.15) — (15.19) можно было использовать для решения навигационной задачи, необходимо выполнение неравенства

Если погрешности априорного знания координат места П характеризуются матрицей

то для дальномерных СРНС

Допустимая погрешность априорного знания координат места, которой погрешности линеаризации не приводят к расходимости фильтра, зависит от дальности (от высоты орбиты и положения П относительно НИСЗ) и погрешностей навигационных измерений. Эта величина в первом приближении характеризует размеры области сходимости фильтра и при определяется из неравенства При для НС на стационарных орбитах а для систем, использующих НИСЗ с периодом обращения

Чтобы расширить область сходимости, можно учитывать квадратичную нелинейность путем введения соответствующего смещения и увеличения априорной дисперсии погрешностей

навигационных измерений согласно уравнениям (15.21), (15.22). Рекуррентные фильтры, учитывающие квадратичную нелинейность, называют гауссовскими фильтрами 2-го порядка [88]. Для обработки дальномерных измерений такой фильтр имеет вид

Эти уравнения отличаются от обычно используемых уравнений (15.15) — (15.19) двумя слагаемыми, учитывающими погрешности линеаризации. По мере повышения точности навигационных определений добавочные слагаемые уменьшаются и гауссовский фильтр 2-го порядка преобразуется в фильтр Калмана.