1.2.4. Матрица плотности для поляризаций

Компактное выражение свойств поляризации фотонов содержится в соответствующей матрице плотности. В разд. 1.2.5 будет дано операциональное определение матрицы плотности фотонов. В этом разделе мы ограничимся повторением рассуждений разд. 1.1.5.

Рассмотрим пучок фотонов, являющийся смесью двух пучков, которые приготовлены независимо в состояниях и имеют соответственно интенсивности 1а и Оператор плотности, характеризующий полный пучок, определяется выражением

где Чтобы получить матрицу плотности, необходимо выбрать конкретное представление. Используем в качестве базисных состояния с определенной спиральностыо и разложим два состояния в соответствии с (1.2.10):

Используя явные выражения (1.2.11) и применяя правило (1.1.21), можно показать, что матрица плотности в представлении состояний с определенной спнральностью имеет вид

Из явного выражения (1.2.14) следует, что удовлетворяет условию нормировки

Часто бывает более удобно нормировать матрицу так, чтобы ее след был равен полной интенсивности соответствующего

пучка фотонов. Этого можно достичь, выражая величины через интенсивности в (1.2.13) и (1.2.14). Оператор плотности в такой нормировке дается тогда выражением

а след матрицы плотности равен

Матрица плотности обладает следующими свойствами (доказательства совершенно аналогичны проведенным в разд. 1.1.5):

1. Диагональные элементы матрицы (1.2.14) определяют вероятности нахождения фотона в пучке в состоянии с соответствующей спиральностью. При выполнении условия нормировки (1.2.17) диагональные элементы дают соответствующие интенсивности.

2. Если рассматриваемый пучок направляется на фильтр, полностью пропускающий лишь фотоны в чистом состояния то элемент

определяет вероятность того, что фотон пучка пройдет через фильтр; здесь использованы обозначения

Элемент полученный с помощью оператора (1.2.16), определяет пропущенную интенсивность

Поскольку любая информация о свойствах поляризации данного пучка может быть в принципе получена путем пропускания пучка через различные поляризационные фильтры, результат любого из таких экспериментов можно вычислить, используя фомулы (1.2.18) или (1.2.19). Отсюда можно заключить, что вся информация о состоянии поляризации данного пучка содержится в его матрице плотности.

3. Условие эрмитовости (1.1.29) уменьшает число независимых параметров до четырех. Одним из них является обычно полная интенсивность пучка Если она не представляет интереса, то ее можно опустить, нормируя матрицу плотности аналогично (1.2.14) и (1.2.15). Тогда определяется тремя действительными параметрами, как это имеет место для матрицы плотности частиц со спином 1/2.

Таким образом, для полного определения матрицы любого пучка необходимо провести четыре независимых измерения (одно из которых — измерение полной интенсивности Если значение несущественно, получается матрица (1.2.14), для нахождения которой необходимо знать три независимых параметра. Результат любого другого эксперимента можно тогда вычислить, применяя выражения (1.2.18) или (1.2.19).

4. В гл. 2 будет доказано, что в общем случае необходимым и достаточным условием того, чтобы данная матрица плотности фотонов описывала чистое состояние, является условие

При нормировке (1.2.15) последний результат сводится к формуле (1.1.37):

Вообще говоря, матрица плотности фотонов удовлетворяет неравенству