7.7. Линейный отклик квантовой системы на внешнее возмущение

Физические задачи связаны с определением неизвестных свойств системы. Для этого воздействуют на систему внешним агентом и наблюдают реакцию системы. Иными словами, наблюдатель задает вопрос системе, а система отвечает. Исходя из такой общей постановки, был развит формализм линейного отклика. Этот формализм Кубо впервые применил к теории необратимых процессов. Его цель состояла в изучении явлений переноса, например эффектов, обусловленных действием на равновесную систему внешних сил, которые вызывают отклонение системы от равновесия и появление тепло- и электропроводности или иной реакции на возмущение. В данном разделе мы дадим краткое введение в этот формализм.

Пусть на квантовую систему, описываемую матрицей плотности действует внешнее возмущение В теории необратимых процессов обычно предполагают, что система находилась в статистическом равновесии с термостатом в отдаленном прошлом Это выражается начальным условием

при где равновесная матрица плотности системы. Временная эволюция матрицы плотности определяется Уравнением Лиувилля (2.4.16). Если достаточно мало, то в первом порядке теории возмущений решение уравнения Лиувилля можно записать в виде

Его можно получить, преобразовав (2.4.43) обратно в представление Шредингера с помощью (2.4.25) и (2.4.37). В этом приближении изменение среднего значения оператора А

равно

Величину можно рассматривать как отклик системы на внешнее возмущение в первом порядке. Нужно отметить, что гамильтониан описывает только саму систему и не включает влияние термостата.

Предположим, что можно представить в виде

где - внешняя вынуждающая сила (например, электрическое поле), оператор, относящийся к системе (например, дипольный оператор). Подстановка (7.7.4) в (7.7.3) дает

при этом мы использовали циклическую инвариантность следа и ввели величину

Если ввести функцию Грина

где - ступенчатая функция, то верхний предел интегрирования в (7.7.5) можно устремить к бесконечности. Тогда выражение для можно записать так:

Выражение (7.7.8) показывает, что влияние внешнего возмущения на среднее значение наблюдаемых можно описать с помощью функций Грина, связывающих наблюдаемую величину с возмущением.

Смысл функции Грина можно выяснить, если рассмотреть единичный импульс в момент т. е. заменить на

где - дельта-функция Дирака. При этом из (7.7.8) следует

Таким образом, функция Грина есть изменение величины в момент времени обусловленное единичным импульсом в момент времени Тогда выражение (7.7.8) можно интерпретировать как линейную суперпозицию откликов, каждый из которых вызван импульсом в момент времени с амплитудой Область значений определяется условием (иначе ступенчатая функция обращается в нуль). Следовательно, отклик носит причинный характер, так как учитывается только влияние возмущений, имевших место в прошедшие моменты времени. Поэтому величину (7.7.7) называют запаздывающей функцией Грина.

Равенство (7.7.8) называется формулой Кубо для линейного отклика системы. Важно подчеркнуть, что эта формула выражает неравновесные свойства системы через средние по равновесным состояниям. Можно также определить нелинейный отклик системы на внешнее воздействие. Однако функции Грина в этом случае уже не будут определяться свойствами невозмущенной системы.

Рассмотрим частный случай периодического возмущения

где амплитуда, бесконечно малая величина, обеспечивающая условие при Для периодического возмущения (7.7.10) формула (7.7.8) принимает вид

где определяется интегралом в (7.7.11а). Обобщенная восприимчивость описывающая влияние периодического возмущения (7.7.10), определяется соотношением

Сравнивая (7.7.11) и (7.7.12), получаем

Это формула Кубо для обобщенной восприимчивости.

Выведенные здесь соотношения можно использовать в качестве отправной точки при описании явлений переноса. При соответствующих условиях можно установить связь между формализмом отклика и теорией необратимых процессов Онсагера. Показано, что при достаточно слабом внешнем возмущении, когда допустимо ограничиться первым порядком теории возмущений, коэффициенты переноса можно вычислить, используя равновесную матрицу плотности. Например, электрическая проводимость непосредственно связана с откликом системы на внешнее поле, а этот отклик в свою очередь оказывается связанным с временными корреляционными функциями. Обсуждение затронутых вопросов выходит за рамки нашей книги. Подробное изложение теории и многочисленные применения читатель может найти в книге Зубарева (1971).

(см. скан)

(см. скан)