3.2. Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению. Приведенная матрица плотности

Рассмотрим две (или более) взаимодействующие квантовые системы. Во многих случаях интерес представляет только одна из двух подсистем, а другие не подвергаются наблюдению. Обозначим состояния интересующей нас системы через состояния всей остальной (не подвергаемой наблюдению) системы в совокупности через а элементы матрицы плотности описывающей полную систему в момент времени через Как показано в предыдущем разделе, вследствие наличия взаимодействия система находится в смешанном состоянии. Поэтому необходимо рассмотреть, как можно построить матрицу плотности которая характеризует только интересующую нас систему.

Рассмотрим оператор действующий только на переменные системы его матричные элементы даются выражением

причем предполагается ортогональность состояний Среднее значение можно найти, используя выражения (2.2.9) и (3.2.1):

Определив элементы матрицы следующим образом:

можно записать соотношение (3.2.2) в форме

совпадающей по виду с (2.2.9).

Вся информация относительно системы может быть выражена через средние значения того числа операторов, которое необходимо для ее описания. Из соотношения (3.2.4) следует, что любое из этих средних значений можно найти, если известна матрица . В указанном смысле матрица содержит всю информацию о системе

Матрицу называют обычно приведенной, или редуцированной, матрицей плотности. Как видно из выражения (3.2.3), эта матрица получается путем взятия тех матричных элементов полной матрицы плотности которые диагональны по не подвергаемой наблюдению переменной с последующим их суммированием но всем значениям Таким путем можно исключить все несущественные индексы. Фактически вычисляется полная матрица плотности которая затем проектируется на интересующее нас подпространство. В этом состоит наиболее ценное свойство матрицы плотности, и мы будем широко его использовать в остальной части кннги.

Для удобства введем сокращенное обозначение

где указывает на взятие следа по всем переменным, не подвергаемым наблюдению. Тогда выражение (3.2.3) можно записать в виде

или в операторной записи

Замкнутая квантовомехоническая система (изолированная от всего остального мира) обладает «гамильтоновой» эволюцией; это означает, что существует не зависящий от времени гамильтониан и унитарный оператор такой, что временная эволюция системы определяется унитарным преобразованием (2.4.15) или, что эквивалентно, уравнением Лиувнлля (2.4.16). При такой эволюции чистое состояние всегда преобразуется в другое чистое состояние,

так что статистические смеси не могут ни создаваться, ни разрушаться.

Рассмотрим теперь взаимодействие между квантовой системой и внешним» «классическими» силами. Термин «классический» означает здесь, что можно пренебречь обратным действием системы на источник полей. Примерами могут служить полуклассические теории излучения или теория потенциального рассеяния, в которой действие мишени на налетающие частицы может быть приближенно описано потенциальной функцией. Временная эволюция квантовой системы описывается унитарным оператором и система подчиняется уравнению Лнувилля (или уравнению Шредингера в случае чистого состояния). Для зависящих от времени внешних сил наблюдаемые, в частности гамильтониан, зависят явно от времени (см. обсуждение в разд. 2.4).

В тех случаях, когда нельзя пренебречь обратным действием (реакцией) квантовой системы на внешнее окружение можно расширить систему добавив к ней тогда объединенная система оказывается замкнутой и обладает гамильтоиовой эволюцией. Часто система не подвергается наблюдению. В этих случаях мы будем называть открытой квантовомеханической системой. Динамическая эволюция такой открытой системы радикально отличается от эволюции закрытой системы. В частности, как видно из обсуждения в разд. 3.1, система будет обнаруживаться в смешанном состоянии после взаимодействия с неподвергаемой наблюдению квантовой системой даже в том случае, если до взаимодействия обе системы находились в чистых состояниях. Следовательно,

временная эволюция открытой квантовомеханической системы не может описываться уравнением Лиувнлля (или уравнением Шредингера).

Другими словами, соответствующую приведенную матрицу плотности нельзя представить в виде унитарного преобразования матрицы плотности в более ранний момент времени В этом состоит важное различие между открытыми и замкнутыми системами (или системами, описываемыми квазикласснчески). Указанное различие сыграло важную роль, например, в недавних дискуссиях о применимости так называемых «неоклассических» теорий излучения. Детали см. прежде всего в статье Чоу и др. (Chow, Scully, Stoner, 1975).

Отправной точкой при обсуждении временной эволюции открытых систем служит уравнение Лиувнлля для соответствующей «расширенной» системы, включающей в себя все

взаимодействующие системы. Предположим, например, что замкнутую систему можно разделить на две взаимодействующие квантовые системы и Объединенная система описывается гамильтонианом состоящим из трех слагаемых:

Эти слагаемые относятся соответственно к свободному движению систем взаимодействию между и Примем, что экспериментальный интерес представляет только система а система не подвергается наблюдению. Из-за наличия члена взаимодействий V, связывающего и не существует гамильтониана, описывающего только динамику системы Временная эволюция приведенной матрицы плотности получается посредством взятия частичного следа (по части переменных, описывающих в обеих частях выражения (2.4.15). Используя обозначения (3.2.5), имеем тогда

или, учитывая (2.4.16),

Здесь операторы замкнутой системы, а Я не зависит от времени.

Следует отметить, что временная эволюция объединенной системы является обратимой, поскольку начальное состояние может быть получено математически из путем обратного преобразования Открытые системы, однако, часто обнаруживают необратимое поведение. Это обусловлено взамодействнем открытой системы с системами, не подвергаемыми наблюдению (например, с «термостатом»), и выражается формально с помощью суммирования по всем подвергаемым наблюдению переменным в выражениях (3.2.6). Процедура взятия следа как раз и является фундаментальным квантовомеханическим источником необратимости. Мы обсудим эти вопросы подробнее в гл. 7.

Абстрактные разультаты, полученные в настоящем и предыдущих разделах, заслуживают подробных пояснений и иллюстраций. Оставшаяся часть главы посвящена этой задаче; мы подробно рассмотрим некоторые простые примеры. Смысл выражений (3.2.6) и их применение рассматриваются в следующих главах.

Итак, в этом и предыдущих разделах мы столкнулись со связанными квантовомеханическими системами, лишь одна из которых исследуется экспериментально. Поэтому рационально найти сокращенное описание одной лишь системы

Мы показали, что в общем случае не существует вектора состояния, описывающего динамическое поведение подсистемы, связанной с другими квантовыми системами. Поэтому открытую систему следует характеризовать с помощью ее приведенной матрицы плотности. В принципе все физические системы взаимосвязаны друг с другом, так как невозможно полностью изолировать систему. Поэтому обычная схема построения квантовой механики, основанная на использовании векторов состояния, всегда является идеализацией.

Затем была рассмотрена временная эволюция открытой квантовомеханической системы под влиянием ее окружения. Соответствующая теория должна быть основана на уравнении Лиувилля, которое дает полное микроскопическое описание замкнутых систем. Уравнение, описывающее динамическое поведение открытой системы, можно получить путем построения соответствующей приведенной матрицы плотности (точнее, путем исключения всех не подвергаемых наблюдению переменных).

Результаты, полученные в разд. 3.1 и 3.2, имеют фундаментальное значение в квантовой теории измерения. Мы не будем здесь обсуждать этот интересный, но в высшей степени противоречивый раздел современной физики. Читателю рекомендуется обратиться, например, к книге д'Эспанья (d'Espagnat, 1976) и приведенным там ссылкам; в качестве введения можно рекомендовать книгу Яуха (Jauch, 1973).