7.1.2. Временные корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения
Следующий шаг при анализе приближения (7.1.9) заключается в рассмотрении коэффициентов при
. Мы следуем здесь работе Луазелля (Loisell, 1973), в которой можно найти более подробное изложение отдельных вопросов (см. также Sargent, Scully, Lamb, 1974; Haken, 1970).
Предположим, что оператор взаимодействия можно записать в виде
где операторы
связаны с резервуаром, а операторы
действуют только на переменные динамической системы. В представлении взаимодействия
где
Подставляя выражение (7.1.12) в уравнение (7.1.10), используя коммутативность операторов
и свойство
цикличности следа, получаем
Рассмотрим сначала средние значения
где след удобно вычисляется с помощью собственных состояний
оператора
поскольку равновесная матрица плотности (7.1.6) диагональна в этом представлении. Предполагая, что операторы взаимодействия
не имеют диагональных элементов в этом представлении (иначе свободный гамильтониан можно было бы переопределить гак, чтобы включить в него соответствующие члены), получаем
Это эквивалентно предположению, что среднее значение сдвига частоты, обусловленного взаимодействием, равно нулю. Таким образом, первый член в уравнении (7.1.14) обращается в нуль.
Далее рассмотрим функции
Это временные корреляционные функции, т. е. средние значения произведений физических величин, взятых в различные моменты времени. Они характеризуют корреляцию, которая существует в среднем между взаимодействиями в моменты
Как уже говорилось, резервуар предполагается большим и таким, что в нем быстро затухают эффекты взаимодействия, следовательно, резервуар будет быстро «забывать» о взаимодействиях с системой 5. Таким образом, можно ожидать, что функция
отлична от нуля в некотором интервале
где
представляет собой характерное время резервуара и называется корреляционным временем резервуара. Взаимодействия в моменты времени
и V становятся
очень мало коррелированными для
и некоррелированными для
когда с учетом (7.1.16) имеем
Следовательно, корреляционная функция
имеет максимум при
и уменьшается с увеличением разности
Корреляционное время
в среднем определяет время, в течение которого сохраняется некоторая память о взаимодействии. Природа х зависит от природы резервуара. В газах, например,
может определяться средним временем свободного пробега между двумя столкновениями. В экспериментах по магнитному резонансу любые ядра взаимодействуют с магнитным моментом соседних ядер, а в случае жидкостей х определяется средним временем, в течение которого ядра данной пары находятся в непосредственной близости друг от друга, прежде чем разойдутся в результате диффузии.
Наконец, заметим, что корреляционные функции (7.17) стационарны, т. е. зависят только от разности
Это можно показать, если использовать определение (7.1.13а), свойство цикличности следа и то обстоятельство, что равновесная матрица плотности (7.1.6) коммутирует с гамильтонианом
Теперь мы используем эти результаты и снова рассмотрим марковское приближение. В силу свойства (7.1.18) в интеграл в (7.1.7) дает ненулевой вклад фактически только интервал от
до
Следовательно, значения
в момент
лежащий вне этого интервала, влияют мало или совсем не влияют на значение
в момент времени
Таким образом, система способна помнить свое состояние только в течение интервала времени, немного превышающего корреляционное время. Обычно интерес представляет макроскопическое поведение системы, а не детальные изменения ее состояния. Если
много меньше характерного времени
(времени затухания или распада), требующегося для заметного изменения
в макроскопическом масштабе,