7.1.2. Временные корреляционные функции. Обсуждение марковского приближения

Следующий шаг при анализе приближения (7.1.9) заключается в рассмотрении коэффициентов при . Мы следуем здесь работе Луазелля (Loisell, 1973), в которой можно найти более подробное изложение отдельных вопросов (см. также Sargent, Scully, Lamb, 1974; Haken, 1970).

Предположим, что оператор взаимодействия можно записать в виде

где операторы связаны с резервуаром, а операторы действуют только на переменные динамической системы. В представлении взаимодействия

где

Подставляя выражение (7.1.12) в уравнение (7.1.10), используя коммутативность операторов и свойство

цикличности следа, получаем

Рассмотрим сначала средние значения

где след удобно вычисляется с помощью собственных состояний оператора поскольку равновесная матрица плотности (7.1.6) диагональна в этом представлении. Предполагая, что операторы взаимодействия не имеют диагональных элементов в этом представлении (иначе свободный гамильтониан можно было бы переопределить гак, чтобы включить в него соответствующие члены), получаем

Это эквивалентно предположению, что среднее значение сдвига частоты, обусловленного взаимодействием, равно нулю. Таким образом, первый член в уравнении (7.1.14) обращается в нуль.

Далее рассмотрим функции

Это временные корреляционные функции, т. е. средние значения произведений физических величин, взятых в различные моменты времени. Они характеризуют корреляцию, которая существует в среднем между взаимодействиями в моменты Как уже говорилось, резервуар предполагается большим и таким, что в нем быстро затухают эффекты взаимодействия, следовательно, резервуар будет быстро «забывать» о взаимодействиях с системой 5. Таким образом, можно ожидать, что функция отлична от нуля в некотором интервале где представляет собой характерное время резервуара и называется корреляционным временем резервуара. Взаимодействия в моменты времени и V становятся

очень мало коррелированными для и некоррелированными для когда с учетом (7.1.16) имеем

Следовательно, корреляционная функция имеет максимум при и уменьшается с увеличением разности

Корреляционное время в среднем определяет время, в течение которого сохраняется некоторая память о взаимодействии. Природа х зависит от природы резервуара. В газах, например, может определяться средним временем свободного пробега между двумя столкновениями. В экспериментах по магнитному резонансу любые ядра взаимодействуют с магнитным моментом соседних ядер, а в случае жидкостей х определяется средним временем, в течение которого ядра данной пары находятся в непосредственной близости друг от друга, прежде чем разойдутся в результате диффузии.

Наконец, заметим, что корреляционные функции (7.17) стационарны, т. е. зависят только от разности Это можно показать, если использовать определение (7.1.13а), свойство цикличности следа и то обстоятельство, что равновесная матрица плотности (7.1.6) коммутирует с гамильтонианом

Теперь мы используем эти результаты и снова рассмотрим марковское приближение. В силу свойства (7.1.18) в интеграл в (7.1.7) дает ненулевой вклад фактически только интервал от до Следовательно, значения в момент лежащий вне этого интервала, влияют мало или совсем не влияют на значение в момент времени Таким образом, система способна помнить свое состояние только в течение интервала времени, немного превышающего корреляционное время. Обычно интерес представляет макроскопическое поведение системы, а не детальные изменения ее состояния. Если много меньше характерного времени (времени затухания или распада), требующегося для заметного изменения в макроскопическом масштабе,

то в подынтегральном выражении в уравнении и марковское приближение справедливо.

Замена на в уравнении (7.1.7) подразумевает, что мы не пытаемся подробно описать движение системы в течение интервалов времени, сравнимых с Нас интересует величина

где сравниваются два значения матрицы плотности системы в моменты времени причем интервал много больше но еще достаточно мал, чтобы изменение было линейным по Если удается найти интервал удовлетворяющий этим условиям, то можно заменить производной по времени (7.1.10). Необходимо только помнить, что нельзя использовать это уравнение для описания изменений в течение интервалов времени, меньших . В указанном смысле марковское приближение часто называют «крупнозернистым» усреднением, а производную (7.1.10) - «крупнозернистой» производной.