7.3. Кинетика индуцированного излучения и поглощения

В этом и следующем разделах мы обсудим физический смысл и применение основных уравнений (7.1.28), (7.1.33) и (7.2.1). Мы рассмотрим взаимодействие атомов или молекул с внешним электромагнитным полем при наличии процессов релаксации. Задачи такого рода особенно важны для квантовой электроники.

Ограничимся теми случаями, когда разность энергий атомных или молекулярных состояний не слишком велика, так что соответствующая частота перехода лежит в области Гц (т. е. длина волны Эта область включает, в частности, радиочастоты ( Гц) и микроволновую область (109—1012 Гц). Основные спектральные переходы в этой области связаны с вращательным спектром молекул в миллиметровом и сантиметровом диапазоне, электронным парамагнитным резонансом и ядерным магнитным резонансом. Изучаемые переходы в атомах соответствуют зеемановским уровням, расщепленным внешним магнитным полем, или естественным уровням тонкой и сверхтонкой структуры. Далее мы будем использовать сокращение для обозначения всей этой области частот.

Одно из существенных свойств переходов в радиочастотной и микроволновой области заключается в преобладании вынужденного излучения. Из теории излучения Эйнштейна следует, что отношение вероятностей вынужденных и спонтанных переходов пропорционально где спектральная плотность излучения. В оптической области малы и — исключая особый случай лазеров — преобладает спонтанное излучение. В РЧ-области длина волны К велика и излучение может иметь большую плотность поэтому

вынужденное излучение преобладает часто оказывается, что спонтанным излучением можно пренебречь. Другое различие между оптическими и РЧ-линиями связано с тем, что ширина оптической линии обычного источника определяется эффектом Доплера. Для РЧ-линий эффект Доплера мал, и, как будет показано ниже, им часто можно пренебречь по сравнению с другими эффектами уширенпя.

Теперь мы продемонстрируем применение основных уравнении, выведенных в разд. 7.1 и 7.2, на простых примерах двухуровневых систем. Пусть основное атомное или молекулярное состояние имеет энергию а возбужденное состояние энергию . В экспериментах по магнитному резонансу разность энергии двух спиновых состояний возникает за счет постоянного однородного магнитного поля Атомная система обладает аксиальной симметрией относительно оси квантования, определяемой направлением следовательно, когерентность между двумя уровнями отсутствует. Соответствующая матрица плотности диагональна в представлении с базисными состояннмн . В состоянии теплового равновесия заселенность этих уровней определяется распределением Больцмана.

Приложенное РЧ-поле вызывает переходы между состояниями. Предположим, что поле перпендикулярно оси квантования, так что существует выделенное поперечное направление. Как было показано в гл. 4 и 6, в этом случае возникает когерентная суперпозиция состояний следовательно, приведенная матрица плотности рассматриваемой атом-ион системы не будет больше диагональной.

Кроме взаимодействия с внешним полем следует учитывать процессы релаксации. Различные случайные взаимодействия между соседними атомами стремятся установить или сохранить тепловое равновесие в среде, т. е. распределение атомов по двум уровням, подчиняющееся закону Больцмана. В парах такие взаимодействия имеют место при столкновениях атомов пара со стенками сосуда. В задачах, связанных с магнитным резонансом, флуктуирующие магнитные поля создаются магнитными моментами атомов. В твердом теле всегда существуют взаимодействия между соседними атомами, которые колеблются относительно своих положений равновесия; с этими колебаниями связана определенная энергия. Далее всегда будет предполагаться, что приняты основные приближения разд. 7.1. Будем полагать, в частности, что «среду», окружающую рассматриваемые атомы, всегда можно считать тепловым резервуаром, находящимся в состоянии теплового равновесия.

Таким образом, необходимо учитывать два конкурирующих процесса. Релаксация стремится восстановить тепловое распределение атомов по двум уровням. Так как вероятности переходов для вынужденного излучения и поглощения равны, внешнее поле стремится выровнять заселенности (в отсутствие спонтанного излучения). В результате за счет конкуренции этих процессов устанавливается динамическое равновесие, при котором заселенность уровня 12) выше, чем при тепловом равновесии. Релаксация вызывает больше переходов чем переходов в обратном направлении, а РЧ-поле постоянно индуцирует большее количество переходов с нижнего уровня на верхний, чем обратно. Таким образом число переходов, связанных с поглощением фотонов, превышает число переходов, сопровождающихся вынужденным излучением Поэтому энергия непрерывно передается от поля к атомной системе, которая постоянно отдает ее резервуару в форме тепла. Такое поглощение излучения можно измерить методами РЧ-спектроскопии.

Для системы атомов, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем, гамильтониан (без учета релаксации) может быть записан в виде

где гамильтониан системы в отсутствие переменного поля (в случае магнитного резонанса статическое поле должно быть включено в гамильтониан Взаимодействие атомов или молекул с приложенным полем представим в виде

Для электрических днпольных переходов, например, оператор взаимодействия равен

где оператор дипольиого момента атома и -напряженность электрического поля. Взаимодействие парамагнитных атомов или попов с переменным электромагнитным полем, имеющим вектор магнитного поля описывается формулой

где дипольный момент атомов (см. разд. 2.5). Следует заметить, что временная зависимость вида (7.3.2) обеспечивает эрмитовость операторов (7.3.3). Для поперечных полей матричные элементы отличны от пуля только при

В отсутствие всех релаксационных процессов уравнением движения для интересующей нас приведенной матрицы плотности является уравнение Лиувнлля (2.4.20), которое здесь мы запишем в форме

где Взаимодействие между атомами и их окружением обычно учитывается путем добавления в уравнение (7.3.4а) соответствующего релаксационного члена

В результате получаем полное уравнение движения:

которое является основным кинетическим уравнением для рассматриваемой задачи. Заметим, что в этом уравнении не учитывается связь между различными членами, определяющими временную эволюцию

В оптической области в уравнение (7.3.4) нужно добавить член описывающий спонтанное излучение. Поскольку спонтанное излучение является по существу случайным процессом, вызванным флуктуацпями вакуумного поля, его можно описать членом

где скорость спонтанного распада возбужденного уровня.

С учетом соотношения (7.2.9) уравнения для диагональных элементов можно записать в виде

Первый член этих уравнений

есть скорость изменения вероятности заселенности уровня за счет РЧ-поля, а другие члены описывают влияние процессов релаксации.

Из (7.1.33) с учетом выражения (7.3.2) и того факта, что диагональные элементы оператора V обращаются в нуль, следует уравнение для недиагональных членов

Уравнения (7.3.5) и (7.3.7) определяют скорость изменения элементов матрицы плотности за счет совместного действия внешнего поля и релаксации. Динамическое равновесие устанавливается при т. е. когда эффекты вынужденного излучения и поглощения уравновешиваются процессами релаксации. Теперь изучим это «стационарное» решение более подробно.

Сначала рассмотрим уравнение (7.3.7). Элементы в представлении взаимодействия связаны с соотношением

при выводе которого использовано выражение (2.4.37). Подставляя (7.3.8) в (7.3.7) и умножая обе части уравнения на получаем

В резонансной области основной вклад дает низкочастотный член и в первом приближении быстро осциллирующими членами можно пренебречь (такое приближение называется «приближением вращающейся волны»). Тогда уравнение (7.3.9а) упрощается:

Чтобы система была в стационарном состоянии, элементы матрицы плотности не должны зависеть от того, в какой момент времени они вычисляются. Поскольку «главный» член в (7.3.9) меняется как будем искать решение в виде

которому в представлении Шредингера соответствует решение вида

После подстановки (7.3.10а) в уравнение (7.3.9) зависящие от времени экспоненциальные множители сокращаются и мы получаем

Элементы можно определить таким же способом. Заметим, что в этом случае в приближении вращающейся волны основной вклад дает член, пропорциональный Поэтому

и применение (7.1.32) приводит к результату

Из приведенного вывода следует, что приближение вращающейся волны получается, если использовать следующие выражения для взаимодействия (7.3.2):

а также (7.3.106) и (7.3.116) для элементов матрицы плотности. Члены более высокого порядка, пропорциональные которыми мы пренебрегли, являются основным источником нелинейных эффектов в квантовой электронике.

Рассмотрим теперь уравнения (7.3.5), описывающие диагональные элементы матрицы плотности. Выражение (7.3.6) можно переписать следующим образом: применяя снова приближение вращающейся волны, используя выражение (7.3.106), (7.3.116) и (7.3.12) и подставляя для недиагоиальных элементов решения (7.3.11), получаем

где через обозначена действительная (мнимая) часть параметра релаксации Аналогично

Выражения (7.3.13) описывают изменение вероятности заселенности двух уровней, вызванное РЧ-полем. Сравнивая оба выражения, мы видим, что

Последний результат легко понять, поскольку поле может увеличивать число атомов в состоянии только за счет вынужденных переходов и наоборот, «прирост» заселенности уровня обусловлен индуцированными переходами Введя определение

перепишем уравнение (7.3.5) для стационарного состояния в форме

Как было показано в разд. 7.2, параметры представляют собой соответственно вероятности переходов вызванных механизмом релаксации. Аналогично параметры представляют собой вероятности переходов индуцированных переменным полем с частотой со. Поэтому мы можем рассматривать величины в (7.3.15) как скорости увеличения и уменьшения вероятности заселенности уровня при одновременном действии внешнего поля и процессов релаксации.

Если интенсивность РЧ-поля достаточно велика, то вероятности заселенностей могут значительно отличаться от своих равновесных значений В этом случае говорят о накачке, обусловленной полем. Если интенсивность поля мала, то диагональные элементы остаются близкими к своим равновесным значениям и в правых частях выражений (7.3.11а) и (7.3.11 в) можно положить

Энергия, поглощенная атомами и отданная полем в единицу времени, с учетом соотношения (7.3.13) определяется выражением

Если то число вынужденных переходов превышает число переходов сверху вниз и система поглощает энергию РЧ-поля. Так как в этом случае Наоборот, при в процессе вынужденного излучения энергии выделяется больше, чем поглощается, и

Подстановка (7.3.13а) в выражение (7.3.17) дает

а для слабого поля

Так как в тепловом равновесии из (7.3.186) следует, что и энергня из поля поглощается. В этом случае выражение (7.3.186) показывает, что налнчпе релаксации приводит к двум эффектам: 1) к сдвигу линии за счет мнимой части уишрению линии за счет действительной части у, параметра

Если в силу каких-либо обстоятельств возникает ситуация, когда что в случае лазеров и мазеров называется инверсией заселенности, то Это означает, что при прохождении через такую среду излучение не ослабляется за счет поглощения, а усиливается индуцированным излучением. На указанном эффекте основано действие лазеров и мазеров.