Приложения

А. Прямое произведение

Важную роль в матричной алгебре играет прямое произведение двух матриц и каждый элемент матрицы С получается путем замены каждого элемента матрицы А на матрицу Таким образом, если представляют собой соответственно и -мерную матрицы, то С является -мерной матрицей. Например, если

то прямое произведение есть четырехмерная матрица

где каждый «элемент», означает двумерную матрицу

Можно показать, что если суть -матрицы, а суть -матрицы, то обычное матричное произведение матрицы на матрицу определяется формулой

Имеется важное соотношение между следами:

Применение соотношений позволяет исключить использование явных матричных представлений в большинстве расчетов.

Определение применимо и для векторов-строк, которые можно рассматривать как матрицы с одной строкой. Например, при записи спиновых состояний в стандартном представлении прямое произведение состояния со спином

1 и состояния со спином 1/2 имеет вид

что мы будем записывать в виде

В более общем случае рассмотрим два линейных пространства с базисами соответственно [т. е. любой вектор из можно записать в виде линейной комбинации состояний Комбинированное пространство (прямое произведение пространств и ) можно натянуть на множество всех прямых произведении

т. е. произведений всех возможных пар, составленных из базисных векторов

Например, ансамбль частиц со спином 1 может находиться в состоянии а ансамбль частиц со спином 1/2 — в состоянии Когда системы разделены и не взаимодействуют, состояние комбинированной системы представляется прямым произведением . Это простое представление неприменимо, когда две системы взаимодействуют (см. разд. 3.1). Однако любой вектор представляющий состояние связанной системы, можно всегда записать в виде суммы прямых произведений:

где .

Прямое произведение состояний обладает следующими важными свойствами. Скалярное произведение определяется соотношением

Матричные элементы оператора действующего только на пространство имеют вид

прямое произведение операторов записывается следующим образом:

Рассмотрим теперь смесь состояний представленных матрицей плотности

где есть вероятность обнаружить систему в состоянии Две системы являются некоррелированными, если

т. е. если вероятность обнаружить одну систему в состоянии не зависит от вероятности обнаружить другую систему в состоянии Если условие выполняется, то, согласно и

Таким образом, в частном случае некоррелированных систем полная матрица плотности представляется прямым произведением матриц отдельных систем.

В качестве примера рассмотрим два ансамбля частиц со спинами В отсутствие взаимодействия две системы некоррелированы и описываются матрицами плотности Тогда объединенная система характеризуется матрицей плотности

Разлагая матрицы плотности по спин-тензорам согласно разд. 4.4, получаем

Используя соотношения (4.2.24) и (4.2.25), получаем след:

С учетом (4.3.14) окончательно имеем

Подобным образом спин-тензоры, характеризующие только вторую систему, определяются выражением

Выражения используются, например, в теории рассеяния для описания начального состояния поляризованных частиц.