2.4.2. Уравнение Лиувилля

Пусть в момент времени некоторая смесь описывается оператором плотности

Состояния изменяются во времени согласно соотношению (2.4.9); следовательно, оператор плотности становится зависящим от времени:

откуда

Если Я не зависит от времени, то

Дифференцируя (2.4.15) по времени и применяя уравнения (2.4.10) и (2.4.12), получаем

подставляя сюда (2.4.15), находим

где квадратные скобки обозначают коммутатор

Таким образом, зависимость от времени оператора плотности может быть найдена или с помощью выражения (2.4.15), или, что эквивалентно, с помощью (2.4.16). Дифференциальное уравнение (2.4.16) часто называют уравнением Лиувилля, так как оно имеет тот же вид, что и уравнение движения для функции распределения вероятности (в фазовом пространстве) в классической механике (см., например, Tolman, 1954).

Уравнения (2.2.9) и (2.4.16) являются основными уравнениями теории. Одновременное решение этих уравнений дает уравнения движения для наблюдаемых. Мы приведем явный пример в разд. 2.5.

Положим теперь, что можно записать

где гамильтониан предполагается не зависящим от времени, а описывает зависящее от времени внешнее поле, индуцирующее переходы между собственными состояниями

гамильтониана Используя эти собственные состояния в качестве базисных, запишем

здесь учтено, что временная эволюция собственных состояний гамильтониана описывается выражением (2.4.3), где вместо подставлены собственные значения гамильтониана . Зависимость от времени, обусловленная внешней силой полностью содержится в коэффициентах которые не зависят от времени, если (см. предыдущий раздел).

Получим теперь выражение, описывающее временную эволюцию элементов матрицы плотности в -представлении. Матричные элементы полного гамильтониана имеют вид

Если умножить уравнение Лиувнлля слева на и справа на и ввести обозначения то получим

Это уравнение можно записать в эквивалентной форме:

что и представляет собой требуемый результат.