2.4.2. Уравнение Лиувилля
Пусть в момент времени
некоторая смесь описывается оператором плотности
Состояния
изменяются во времени согласно соотношению (2.4.9); следовательно, оператор плотности становится зависящим от времени:
откуда
Если Я не зависит от времени, то
Дифференцируя (2.4.15) по времени
и применяя уравнения (2.4.10) и (2.4.12), получаем
подставляя сюда (2.4.15), находим
где квадратные скобки обозначают коммутатор
Таким образом, зависимость от времени оператора плотности может быть найдена или с помощью выражения (2.4.15), или, что эквивалентно, с помощью (2.4.16). Дифференциальное уравнение (2.4.16) часто называют уравнением Лиувилля, так как оно имеет тот же вид, что и уравнение движения для функции распределения вероятности (в фазовом пространстве) в классической механике (см., например, Tolman, 1954).
Уравнения (2.2.9) и (2.4.16) являются основными уравнениями теории. Одновременное решение этих уравнений дает уравнения движения для наблюдаемых. Мы приведем явный пример в разд. 2.5.
Положим теперь, что можно записать
где гамильтониан
предполагается не зависящим от времени, а
описывает зависящее от времени внешнее поле, индуцирующее переходы между собственными состояниями