Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.6. Лиувиллиевский формализмВ настоящем разделе мы опишем математический метод, особенно полезный в неравновесной квантовой статистике. Этот метод связан с представлением Лиувилля для матриц плотности. Элементами гильбертова пространства являются векторы состояния
Мы будем использовать обозначения Рассмотрим набор базисных векторов
и соотношение полноты
где 1 есть единичный оператор в пространстве Лиувилля. Отсюда следует соотношение
т. е. внутреннее произведение любого лиувнллевского вектора А с базисным вектором Если свойства угловой симметрии рассматриваемой системы играют важную роль, то удобно в качестве базисных векторов использовать элементы
и полным:
Действуя оператором (7.6.6) на матрицу плотности, рассматриваемую как вектор
Мультиполи состояния тогда можно рассматривать как внутренние произведения
которые можно записать в обычной форме (4.3.5), используя определение (7.6.1). Выражения (7.6.7) и (7.6.8) соответствуют разложению (4.3.4). Чтобы производить вычисления, используя пространство Лиувилля, необходимо ввести операторы
Операторы
где использованы условие полноты (7.6.3) и соотношение (7.6.4). Таким образом, элементы супероператоров характеризуются четырьмя индексами В качестве примера обратимся к общему уравнению релаксации (7.5.1):
Рассматривая матричные элементы как внутренние произведения лиувиллевеких векторов согласно (7.6.4), можно записать
Подстановка единичного оператора (7.6.3) дает
где Особое значение для неравновесной квантовой статистики имеет оператор Лиувилля С, определенный для данного гамильтониана Я и любого оператора А соотношением
где
т. е. собственные значения оператора Лиувнлля совпадают с возможными частотами Уравнение движения (2.4.16) для матрицы плотности можно записать в новых обозначениях в следующем виде:
Формальное решение уравнения (7.6.14) имеет вид
а соответствующий супероператор временной эволюции равен
Советуем сравнить выражение (7.6.15) с обычной формой (2.4.16). Выражения (7.6.7) и (7.6.15) позволяют получить компактное представление для коэффициентов возмущения, определенных соотношением (4.7.6.). Предполагая, что рассматриваемая система в момент времени
а в момент времени
получаем из (7.6.8) и (7.6.15)
где коэффициент возмущения в обозначениях лиувиллевского формализма дается выражением
Представленный здесь формализм применялся различными авторами к теории угловых корреляций, возмущенных процессами релаксации (см., например, Gabriel, 1969; Bosse, Gabriel, 1974). Реальное преимущество оператора Лиувнлля проявляется в резольвентной форме. Резольвентный метод, который использует идеи и методы теории рассеяния для описания матрицы плотности в лиувиллевском представлении, позволяет представить формализм в компактной форме. Познакомиться с этим методом читатель может по оригинальной работе Цванцига (Zwanzig, 1960).
|
1 |
Оглавление
|