7.6. Лиувиллиевский формализм

В настоящем разделе мы опишем математический метод, особенно полезный в неравновесной квантовой статистике. Этот метод связан с представлением Лиувилля для матриц плотности.

Элементами гильбертова пространства являются векторы состояния Рассмотрим теперь совокупность линейных операторов действующих на состояния Любая линейная комбинация линейных операторов есть также линейный оператор. Поэтому множество линейных операторов образует другое линейное пространство, которое называется пространством Лиувилля, если внутреннее произведение в нем определено соотношением

Мы будем использовать обозначения чтобы подчеркнуть, что эти операторы рассматриваются как элементы пространства Лиувилля.

Рассмотрим набор базисных векторов в гильбертовом пространстве. Тогда базис в пространстве Лиувилля образуется набором операторов которые получаются путем комбинации всех элементов набора Следуя работе Габриэля (Gabriel, 1969) и используя «дираковские» обозначения для для а также определение (7.6.1), найдем соотношение ортогональности

и соотношение полноты

где 1 есть единичный оператор в пространстве Лиувилля. Отсюда следует соотношение

т. е. внутреннее произведение любого лиувнллевского вектора А с базисным вектором равно обычному матричному элементу оператора А в гильбертовом пространстве.

Если свойства угловой симметрии рассматриваемой системы играют важную роль, то удобно в качестве базисных векторов использовать элементы Такой набор является ортонормированным согласно (4.2.24):

и полным:

Действуя оператором (7.6.6) на матрицу плотности, рассматриваемую как вектор в пространстве Лиувилля, получаем разложение

Мультиполи состояния тогда можно рассматривать как внутренние произведения

которые можно записать в обычной форме (4.3.5), используя определение (7.6.1). Выражения (7.6.7) и (7.6.8) соответствуют разложению (4.3.4).

Чтобы производить вычисления, используя пространство Лиувилля, необходимо ввести операторы преобразующие вектор в другой вектор:

Операторы часто называют «супероператорами». В произвольном базисе имеем

где использованы условие полноты (7.6.3) и соотношение (7.6.4). Таким образом, элементы супероператоров характеризуются четырьмя индексами

В качестве примера обратимся к общему уравнению релаксации (7.5.1):

Рассматривая матричные элементы как внутренние произведения лиувиллевеких векторов согласно (7.6.4), можно записать

Подстановка единичного оператора (7.6.3) дает

где супероператор релаксации

Особое значение для неравновесной квантовой статистики имеет оператор Лиувилля С, определенный для данного гамильтониана Я и любого оператора А соотношением

где означает обычный коммутатор в гильбертовом пространстве. Удобный базис для С можно построить из собственных состояний гамильтониана. В этом базисе

т. е. собственные значения оператора Лиувнлля совпадают с возможными частотами системы.

Уравнение движения (2.4.16) для матрицы плотности можно записать в новых обозначениях в следующем виде:

Формальное решение уравнения (7.6.14) имеет вид

а соответствующий супероператор временной эволюции равен

Советуем сравнить выражение (7.6.15) с обычной формой (2.4.16).

Выражения (7.6.7) и (7.6.15) позволяют получить компактное представление для коэффициентов возмущения, определенных соотношением (4.7.6.). Предполагая, что рассматриваемая система в момент времени описывается матрицей плотности

а в момент времени матрицей

получаем из (7.6.8) и (7.6.15)

где коэффициент возмущения в обозначениях лиувиллевского формализма дается выражением

Представленный здесь формализм применялся различными авторами к теории угловых корреляций, возмущенных процессами релаксации (см., например, Gabriel, 1969; Bosse, Gabriel, 1974).

Реальное преимущество оператора Лиувнлля проявляется в резольвентной форме. Резольвентный метод, который

использует идеи и методы теории рассеяния для описания матрицы плотности в лиувиллевском представлении, позволяет представить формализм в компактной форме. Познакомиться с этим методом читатель может по оригинальной работе Цванцига (Zwanzig, 1960).