1. Основные понятия

1.1. Спиновые состояния и матрица плотности для частиц со спином 1/2

1.1.1. Чистые спиновые состояния

Чтобы познакомиться с основными понятиями теории матрицы плотности, начнем с проблемы описания спиновых состояний для частиц со спином 1/2. Прежде всего напомним некоторые результаты квантовомеханической теории эксперимента Штерна и Герлаха, а в последующих разделах дадим другую интерпретацию этих результатов и обсудим их более детально.

Рис. 1.1. Фильгр Штерна — Герлаха.

Рассмотрим пучок частиц со спином 1/2 (например, атомов водорода), проходящих сквозь магнит в опыте Штерна— Герлаха, причем градиент поля направлен вдоль оси z (в фиксированной системе координат х, у, z) (рис. 1.1). В общем случае пучок расщепится по вертикали на две части, каждая из которых соответствует одному из возможных собственных значений компоненты спинового оператора . Если один из расщепленных пучков удалить (например, нижний на рис. 1.1), то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, соответствующем лишь одному из этих собственных значений; для схемы опыта, изображенной на рис. 1.1, таким значением будет Аналогично, если всю установку повернуть так, чтобы градиент поля имел направление z, то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, характеризуемом квантовым числом (здесь собственное значение оператора компоненты оператора в направлении

Если падающий пучок с самого начала содержит только частицы в состоянии с то он пройдет сквозь установку, изображенную на рис. 1.1, без какой-либо потери интенсивности. Во всех остальных случаях часть пучка будет отфильтрована и результирующий пучок будет иметь меньшую интенсивность, чем падающий. Однако путем поворота установки на различные углы относительно оси можно найти такую ориентацию магнита, при которой пропускается полностью весь пучок.

Рис. 1.2. а — спин «имеет направление» спин «имеет направление» —

Например, если падающий пучок содержит только компоненту спина, соответствующую в системе координат с осью то он ослабляется при прохождении установки, изображенной на рис. 1.1. Однако если повернуть магнит так, чтобы градиент поля был направлен вдоль оси то пучок будет проходить без ослабления. В этом случае все частицы отклонялись бы одинаково; иными словами, в данном конкретном эксперименте они все вели бы себя тождественно. Это позволяет нам дать следующее (предварительное) определение:

Если возможно найти такую ориентацию установки в опыте Штерна-Герлаха, при которой данный пучок полностью пропускается, то говорят, что пучок находится в чистом спиновом состоянии.

Если обратиться к полуклассической векторной модели, то пучок частиц с определенным значением квантового числа можно описать, считая, что вектор спина каждой частицы прецессирует вокруг направления оси причем проекция его на ось равна (рис. 1.2, а). В таком случае говорят, что частипы обладают «спином вверх» Аналогично

описывается и случай (рис. 1.2,6) («спин вниз»); векторы спина частиц, находящихся в собственных состояниях вектора прецессируют вокруг оси z. В случае чистого спинового состояния векторы спина частиц прецессируют вокруг только одного направления, параллельного такому расположению установки Штерна — Герлаха, при котором пучок проходит сквозь нее без ослабления.

Если известно, что состояние данного пучка является чистым, то совместное состояние всех частиц можно представить с помощью одного и того же вектора состояния . Это существенный пункт, и мы проиллюстрируем его некоторыми примерами. Если пучок частиц полностью проходит через установку Штерна-Герлаха, ориентированную вдоль направления то мы говорим, что все частицы в пучке находятся в тождественных спиновых состояниях с квантовым числом по отношению к оси z или что все частицы имеют спин вверх относительно оси z. Такое состояние можно описать, поставив в соответствие всему пучку вектор состояния Аналогично пучок частиц с можно охарактеризовать с помощью вектора состояния обычном представлении Паули векторы состояний можно представить двумерными векторами-столбцами.

а сопряженные им состояния — векторами-строками

Вообще говоря, в пучке, выходящем из установки Штерна — Герлаха, в которой градиент магнитного поля направлен вдоль оси z, все частицы пучка находятся в состоянии с определенным квантовым числом относительно оси z как оси квантования. Совместное состояние всех частиц можно описать вектором состояния

Общее спиновое состояние всегда можно записать как линейную комбинацию (суперпозицию) двух базисных состояний, например состояний

В представлении (1.1.1) это эквивалентно следующей записи:

Сопряженное состояние описывается вектором-строкой:

(здесь звездочка означает комплексное сопряжение). Состояние нормируется следующим образом:

Чистое спиновое состояние можно характеризовать, задавая либо направление спинов (например, с помощью полярных углов в нашей фиксированной системе координат), либо коэффициенты « в разложении (1.1.2). В следующем разделе мы выясним связь между этими двумя описаниями и получим явное выражение для коэффициентов

Установка типа изображенной на рис. 1.1 действует в качестве фильтра, так как независимо от состояния падающего пучка выходящий из нее пучок находится в определенном спиновом состоянии, которое зависит от ориентации магнита. Пропускание пучка через фильтр можно поэтому рассматривать как способ приготовления пучка частиц в чистом состоянии.