4.2.2. Трансформационные свойства при поворотах. Матрица поворотов
Чтобы выяснить смысл определения (4.2.3), рассмотрим, как преобразуются тензорные операторы при поворотах. Состояния углового момента (4.2.1) и операторы (4.2.3) определены относительно фиксированной координатной системы, имеющей, например, оси
Пусть вторая система с осями х,
получается из первой с помощью двух последовательных поворотов: 1) поворота на угол
вокруг оси
(в результате которого получаются новые оси х,
и 2) поворота на угол
вокруг оси у (который переводит
соответственно). Повороты совершаются против часовой стрелки, если смотреть с конца оси по направлению к началу координат. Углы Эйлера, определенные Эдмондсом (Edmonds, 1957), таковы:
Углы
представляют собой полярные углы оси z относительно системы
(рис. 4.1). Ось
имеет полярные углы
а ось у характеризуется углами (90°,
Оператор углового момента
имеет компоненту
относительно оси
и компоненту
относительно оси Обозначим собственные значения
через
и собственные значения
через
Собственное состояние
оператора
не является собственным для оператора
так как два оператора
не коммутируют при
Используя принцип суперпозиции (2.1.1), состояние
можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний
оператора
коэффициенты которой зависят от квантовых чисел углового момента и углов Эйлера
Обычно эти коэффициенты разложения обозначаются через
Коэффициенты разложения можно интерпретировать как амплитуды вероятности обнаружить состояние
в данном состоянии
если новая система координат связана со