4.2.2. Трансформационные свойства при поворотах. Матрица поворотов

Чтобы выяснить смысл определения (4.2.3), рассмотрим, как преобразуются тензорные операторы при поворотах. Состояния углового момента (4.2.1) и операторы (4.2.3) определены относительно фиксированной координатной системы, имеющей, например, оси Пусть вторая система с осями х, получается из первой с помощью двух последовательных поворотов: 1) поворота на угол вокруг оси (в результате которого получаются новые оси х, и 2) поворота на угол вокруг оси у (который переводит соответственно). Повороты совершаются против часовой стрелки, если смотреть с конца оси по направлению к началу координат. Углы Эйлера, определенные Эдмондсом (Edmonds, 1957), таковы: Углы представляют собой полярные углы оси z относительно системы (рис. 4.1). Ось имеет полярные углы а ось у характеризуется углами (90°,

Оператор углового момента имеет компоненту относительно оси и компоненту относительно оси Обозначим собственные значения через и собственные значения через Собственное состояние оператора не является собственным для оператора так как два оператора не коммутируют при Используя принцип суперпозиции (2.1.1), состояние можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний оператора коэффициенты которой зависят от квантовых чисел углового момента и углов Эйлера Обычно эти коэффициенты разложения обозначаются через

Коэффициенты разложения можно интерпретировать как амплитуды вероятности обнаружить состояние в данном состоянии если новая система координат связана со

старой углами Эйлера . Для данного совокупность всех коэффициентов можно записать в виде матрицы, называемой матрицей поворотов; ее элементами являются амплитуды Явные выражения для различных даны, например, в книге Эдмондса (Edmonds, 1957), см. также приложение В.

Закон преобразования для сопряженного состояния имеет вид [см. (2.1.5)]:

Рис. 4.1. Пример поворота, определяемого углами

Свяжем теперь оператор определенный в системе с оператором определенным в системе Для этого подставим (4.2.10) и (4.2.11) в (4.2.3) и используем свойство симметрии матрицы поворотов

Здесь так как есть целое число, и мы получаем

или, окончательно,

При выводе соотношения (4.2.13) произведение было записано в виде линейной комбинации матриц [см. затем было выполнено суммирование по и с учетом соотношений ортонормированности для коэффициентов Клебша — Гордана и, наконец, использовано определение (4.2.3). Соотношение (4.2.13) выражает операторы определенные в системе через операторы определенные в системе

Операторы, которые при поворотах преобразуются согласно (4.2.13), называются неприводимыми тензорными операторами ранга есть -компонекта неприводимого тензорного оператора ранга Соотношение (4.2.13) показывает, что ранг тензорного оператора остается инвариантным при поворотах. В следующем разделе мы обсудим некоторые примеры использования этого соотношения.