2.4.3. Представление взаимодействия

Основная тема этого раздела — приближенное нахождение оператора временной эволюции. На основе полученных выражений мы обсудим также решение уравнения Лиувнлля.

Вообще говоря, точное решение уравнения (2.4.10) невозможно. Часто, однако, взаимодействие в уравнении

(2.4.17) является малым возмущением, и уравнение (2.4.10) можно решить с помощью методов нестационарной теории возмущений.

Сделаем сначала несколько предварительных замечаний. Прежде всего заметим, что временная зависимость векторов состояния определяется в основном гамильтонианом Это достаточно хорошо видно из выражения (2.4.18), которое содержит быстропеременные множители Эту явную зависимость можно исключить, записав (2.4.18) в виде

где оператор определяется выражением (2.4.6), а

Подставляя разложение (2.4.22) в уравнение Шредингера (2.4.8) и полагая, что выполняется (2.4.17), находим

Члены, содержащие Но, взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение движения для вектора состояния

где введено определение

Из уравнения (2.4.24) видно, что если т. е. временная зависимость полностью создается внешним потенциалом Если малое возмущение, то будет медленно меняться во времени. По указанной причине уравнение (2.4.24) можно решать приближенно в рамках нестационарной теории возмущений; оно значительно удобнее для практических вычислений, чем (2.4.8).

Рассмотрение в разд. 2.4.1 и 2.4.2 базировалось на том факте, что векторы состояния содержат всю зависимость от времени, обусловленную и всю информацию о временной эволюции системы. Такой способ описания временной эволюции называется представлением Шредингера. Как было показано выше, часто бывает удобно устранить из

состояний быстропеременные множители, обусловленные видно из выражения (2.4.22), этого можно достичь, применяя оператор

ко всем состояниям в представлении Шредингера, в результате чего получаем

В то же время все операторы можно преобразовать, как это сделано с в (2.4.25), и определить новые операторы следующим образом:

Соответствующие обратные преобразования имеют вид

Очевидно, оператор унитарный. Временная зависимость состояний порождается теперь слагаемым а временная эволюция операторов обусловлена их собственной зависимостью от времени и, кроме того, слагаемым Описание временной эволюции с помощью состояний и операторов называется представлением взаимодействия.

Поскольку представления взаимодействия и Шредингера совпадают при

После этих вводных замечаний обратимся к проблеме нахождения оператора временной эволюции. Это можно сделать на основе представления взаимодействия. Зависимость от времени состояний в представлении Шредингера описывается выражением (2.4.9). Аналогичное выражение можно получить для соответствующей величины в представлении взаимодействия Подставляя (2.4.9) в (2.4.27), полулаем

Применяя соотношение (2.4.28в), имеем

где

а обратное соотношение имеет вид

Оператор определяет временную эволюцию состояний в представлении взаимодействия.

Чтобы найти следует подставить (2.4.31) в (2.4.10); тогда члены, содержащие сокращаются и мы получаем

где решение уравнения (2.4.32), удовлетворяющее начальному условию

Уравнение (2.4.32) показывает, что зависимость от времени полностью обусловлена членом Поэтому нестационарную теорию возмущений удобнее применять к уравнению (2.4.32), чем к его аналогу (2.4.10) в представлении Шредингера.

Для решения уравнения (2.4.32) прежде всего формально проинтегрируем его и получим

где использовано начальное условие (2.4.31). Соотношение (2.4.34) еще не является решением уравнения (2.4.32): оно представляет собой лишь преобразование уравнения (2.4.32) к форме интегрального уравнения (в котором неизвестная величина находится под знаком интеграла). Уравнение (2.4.34) может быть решено методом итераций. Если то и если член достаточно мал, будет лишь немного отличаться от 1. Тогда оператор под знаком интеграла в (2.4.34) может быть заменен единичным оператором; таким способом мы получаем оператор временной эволюции в первом порядке теории возмущений:

Подставляя затем (2.4.35) в (2.4.34), находим оператор эволюции во втором порядке теории возмещений; с помощью дальнейших итераций можно найти члены бысших порядков в операторе эволюции.

На основе выражений (2.4.34) и (2.4.35) можно, используя (2.4.30), получить соответствующие выражения для оператора в представлении Шредингера.

Перейдем теперь к уравнению движения для оператора плотности. Применяя к оператору плотности (2.4.15) в представлении Шредингера унитарное преобразование (2.4.26), находим

где оператор плотности в представлении взаимодействия определяется следующим образом:

Подставляя (2.4.15) в (2.4.37), приходим к уравнению движения

Аналогично, подставляя

в уравнение (2.4.16), получаем уравнение Лиувилля в представлении взаимодействия:

Для получения приближенного решения этого уравнения преобразуем его сначала к виду интегрального уравнения. Формальное интегрирование (2.4.41) дает

Это интегральное уравнение можно решать с помощью итераций аналогично уравнению (2.4.34). Положим, например, что для всех значений Тогда при 0 данная смесь описывается в представлении взаимодействия не зависящим от времени оператором плотности Предположим, что при всех значениях присутствует возмущение тогда, если это возмущение невелико при оператор будет мало отличаться от своего начального значения

Поэтому в интеграл (2.4.42) вместо можно подставить его начальное значение Тогда решение уравнения

(2.4.42) в первом приближении теории возмущений имеет вид

Продолжая процесс итераций можно получить члены высших порядков.

Соотношения, выведенные в этом разделе, будут проиллюстрированы на примерах в последующих главах. Более детальное обсуждение различных представлений, используемых для описания временной эволюции, можно найти в любом учебнике по квантовой механике.