Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.4.3. Представление взаимодействияОсновная тема этого раздела — приближенное нахождение оператора временной эволюции. На основе полученных выражений мы обсудим также решение уравнения Лиувнлля. Вообще говоря, точное решение уравнения (2.4.10) невозможно. Часто, однако, взаимодействие (2.4.17) является малым возмущением, и уравнение (2.4.10) можно решить с помощью методов нестационарной теории возмущений. Сделаем сначала несколько предварительных замечаний. Прежде всего заметим, что временная зависимость векторов состояния
где оператор
Подставляя разложение (2.4.22) в уравнение Шредингера (2.4.8) и полагая, что выполняется (2.4.17), находим
Члены, содержащие Но, взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение движения для вектора состояния
где введено определение
Из уравнения (2.4.24) видно, что Рассмотрение в разд. 2.4.1 и 2.4.2 базировалось на том факте, что векторы состояния содержат всю зависимость от времени, обусловленную состояний быстропеременные множители, обусловленные
ко всем состояниям
В то же время все операторы
Соответствующие обратные преобразования имеют вид
Очевидно, оператор Поскольку
После этих вводных замечаний обратимся к проблеме нахождения оператора временной эволюции. Это можно сделать на основе представления взаимодействия. Зависимость от времени состояний
Применяя соотношение (2.4.28в), имеем
где
а обратное соотношение имеет вид
Оператор Чтобы найти
где
Уравнение (2.4.32) показывает, что зависимость Для решения уравнения (2.4.32) прежде всего формально проинтегрируем его и получим
где использовано начальное условие (2.4.31). Соотношение (2.4.34) еще не является решением уравнения (2.4.32): оно представляет собой лишь преобразование уравнения (2.4.32) к форме интегрального уравнения (в котором неизвестная величина
Подставляя затем (2.4.35) в (2.4.34), находим оператор эволюции во втором порядке теории возмещений; с помощью дальнейших итераций можно найти члены бысших порядков в операторе эволюции. На основе выражений (2.4.34) и (2.4.35) можно, используя (2.4.30), получить соответствующие выражения для оператора Перейдем теперь к уравнению движения для оператора плотности. Применяя к оператору плотности (2.4.15) в представлении Шредингера унитарное преобразование (2.4.26), находим
где оператор плотности в представлении взаимодействия определяется следующим образом:
Подставляя (2.4.15) в (2.4.37), приходим к уравнению движения
Аналогично, подставляя
в уравнение (2.4.16), получаем уравнение Лиувилля в представлении взаимодействия:
Для получения приближенного решения этого уравнения преобразуем его сначала к виду интегрального уравнения. Формальное интегрирование (2.4.41) дает
Это интегральное уравнение можно решать с помощью итераций аналогично уравнению (2.4.34). Положим, например, что Поэтому в интеграл (2.4.42) вместо (2.4.42) в первом приближении теории возмущений имеет вид
Продолжая процесс итераций Соотношения, выведенные в этом разделе, будут проиллюстрированы на примерах в последующих главах. Более детальное обсуждение различных представлений, используемых для описания временной эволюции, можно найти в любом учебнике по квантовой механике.
|
1 |
Оглавление
|