1.2. Состояние поляризации и матрица плотности для фотонов

1.2.1. Классическое понятие поляризации волны

В этом разделе будет дано описание поляризации фотона. Мы будем следовать рассуждениям разд. 1.1, с тем чтобы ближе познакомиться с введенными там абстрактными понятиями. Начнем с краткого описания поляризации света в классической оптике.

Монохроматическая электромагнитная волна характеризуется тремя величинами: угловой частотой и, волновым вектором (здесь единичный вектор в направлении распространения волны, длина волны) и состоянием поляризации, которое определяется колебаниями вектора электрического поля Вектор поля монохроматической волны можно записать в виде

где А — амплитуда волны, вектор поляризации. Ввиду поперечного характера электромагнитных волн вектор перпендикулярен В этом разделе мы используем систему координат х, у, z, в которой ось параллельна и ограничиваемся обсуждением свойств поляризации только световых волн. Если вектор колеблется вдоль оси х, то свет называют линейно-поляризованным вдоль оси х. Вектор поляризации параллелен оси обозначается Если вектор колеблется вдоль оси у, то поляризацию можно охарактеризовать, приписав пучку вектор поляризации направленный вдоль оси у. Произвольный вектор поляризации всегда можно разложить по двум ортогональным векторам, например

где действительные коэффициенты.

Наложим на (1.2.2) условие нормировки, состоящее в том, что вектор является единичным. Именно, скалярное произведение вектора и сопряженного ему вектора должно быть равно единице, Тогда условие нормировки имеет вид

Равенство (1.2.2) соответствует линейной комбинации двух волн равной частоты, с одинаковым волновым вектором, амплитудами волны поляризованы соответственно вдоль осей х и у и имеют определенную разность начальных фаз

Здесь относительные амплитуды волн, удовлетворяющие условию нормировки (1.2.3): а где

Можно ввести параметр определив его следующим образом:

[при этом условие (1.2.3) выполняется автоматически]; тогда произвольный вектор поляризации (1.2.2) запишется в виде

Чтобы познакомиться с применением этого выражения, рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть две волны, входящие в линейную суперпозицию, колеблются в одинаковых фазах с относительными амплитудами и поляризованы соответственно вдоль осей х и у. С помощью величин можно найти параметр ; подставляя затем в выражение (1.2.46), можно найти вектор поляризации результирующей волны;

Рис. 1.4. Вектор поляризации линейно-поляризованного света.

В этом случае можно дать простую интерпретацию параметру вектор является действительным и расположен в плоскости так что выражение (1.2.5) представляет собой разложение этого вектора по двум ортогональным базисным векторам следовательно, [3 имеет смысл угла между вектором и осью х (рис. 1.4).

2. При суперпозиции двух волн с равными частотами и амплитудами но с разностью фаз ±90° возникает результирующая волна с вектором поляризации

соответствующим левой или правой круговой поляризации (более подробное обсуждение см. в разд. 1.2.3).

3. Если мы приходим к общему случаю эллиптической поляризации.

В дальнейшем мы будем называть световую волну полностью поляризованной, если ее свойства поляризации можно

полностью описать всего одним вектором [например, как это имеет место для плоской волны (1.2.1)]. Полезно дать другую интерпретацию приведенного определения, обращаясь к некоторым идеализированным экспериментам.

Следуя подходу, принятому в разд. 1.1, свойства поляризации света можно обсуждать на основе экспериментов с различными оптическими поляризационными фильтрами. Будем считать все используемые фильтры идеальными в том смысле, что они полностью прозрачны только для света данной поляризации. Поэтому свет, прошедший через фильтр, находится в определенном состоянии поляризации. Например, пучок света может проходить через призму Николя, которая пропускает только свет, поляризованный параллельно оси х. Тогда пропущенный свет становится линейно-поляризованным вдоль оси х. Аналогично пучок света, прошедший через призму Николя, ориентированную вдоль оси будет линейно-поляризован вдоль направления Если угол между вектором и осью х, то соответствующий вектор поляризации дается выражением (1.2.5). Наоборот, если линейно-поляризованный свет с вектором поляризации пропускается через призму Николя, то всегда можно найти такую ориентацию призмы, при которой пучок полностью проходит через нее. Это имеет место в том случае, когда направление пропускания призмы параллельно вектору Свет с круговой поляризацией пропускается полностью только специальным поляризационным фильтром (например, соответственно ориентированной комбинацией четвертьволновых пластинок и призмы Николя).

Обращая эти рассуждения, можно сказать, что световой пучок полностью поляризован, если можно подобрать такой фильтр, который полностью пропускает пучок.

Как известно из оптики, свет чаще всего не бывает полностью поляризованным. Обычный источник света состоит из большого числа возбужденных атомов, каждый из которых излучает импульс света за время порядка с независимо от всех других атомов. К пучку света все время добавляются новые импульсы, поэтому результирующая поляризация очень быстро меняется. Следовательно, не может возникнуть определенный вектор поляризации, характеризующий весь пучок в целом. В следующих разделах мы обсудим проблему описания пучков такого типа.