3. Связанные системы

3.1. Несепарабельность квантовых систем после взаимодействия

В гл. 2 были получены основные уравнения движения (2.4.15) и уравнение Лиувилля (2.4.16). Они были применены к описанию взаимодействия между квантовой системой и внешним классическим полем. В этой главе мы рассмотрим проблему описания состояния квантовой системы, взаимодействующей с другими квантовыми системами (над которыми может и не производиться процесс измерения). Эта тема очень важна и по существу имеет первостепенную важность для всего дальнейшего обсуждения. Квантовомеханические теоремы, которые будут сформулированы, дают основу для понимания таких явлений, как квантовые биения, угловые корреляции и эффекты спиновой деполяризации. В разд. 3.1 и 3.2 изложена необходимая общая теория, а в разд. 3.3-3.5 приведены примеры, иллюстрирующие смысл и применение общих теорем.

Начнем с анализа следующей ситуации. Две первоначально отдаленные друг от друга невзаимодействующие системы частиц сводятся воедино и получают возможность взаимодействовать друг с другом. Рассмотрим проблему анализа конечного состояния всей системы, когда составляющие ее системы вновь разделяются и взаимодействие между ними прекращается. Обозначим эти подсистемы соответственно через Полный набор ортогональных векторов состояния можно выбрать так, чтобы описать систему т. е. любое состояние этой системы может быть записано в виде линейной комбинации базисных состояний Аналогично можно выбрать набор базисных состояний описывающих систему Индексы относятся к наборам квантовых чисел, необходимых для полной характеристики каждой системы. Если до взаимодействия две отдаленные друг от друга системы находились в чистых состояниях, описываемых соответственно векторами (эти состояния не обязательно входят в число выбранных базисных состояний), то состояние объединенной системы до взаимодействия представляется хорошо определенным вектором состояния

в объединенном пространстве (см. приложение А).

В процессе взаимодействия временная эволюция вектора состояния определяется соответствующим оператором эволюции во времени, который является линейным оператором в объединенном пространстве. Линейные операторы преобразуют один вектор состояния снова в один вектор состояния (не совпадающий с исходным). Поэтому начальное чистое состояние должно эволюционировать так, чтобы конечное состояние объединенной системы также можно было представить одним вектором состояния (мы обозначим его

здесь стрелка символизирует действие оператора эволюции во времени. Состояние - зависит от переменных обеих подсистем. Это можно увидеть явно, разложив по базисным состояниям разъединенной системы:

где сумма может включать интегрирование по непрерывным переменным.

Коэффициент а представляет собой амплитуду вероятности перехода так что квадрат его модуля дает вероятность нахождения частицы системы в состоянии и одновременно частицы системы в состоянии после взаимодействия. Вклад в разложение (3.1.1) дают только те комбинации которые допускаются законами сохранения. Другими словами, данное конкретное конечное состояние коррелировано с одним (или несколькими) конечными состояниями таким образом, что все необходимые законы сохранения выполнены.

Вообще говоря, сумма в выражении (3.1.16) содержит более одного слагаемого. Существенно, что амплитуды зависят от переменных обеих подсистем. Следовательно, невозможно записать соотношение (3.1.16) в виде где вектор состояния, зависящий только от переменных системы а вектор состояния, зависящий только от переменных системы По существу разделение такого типа разрушило бы корреляции, которые обязательно существуют между двумя подсистемами.

Чтобы разъяснить это утверждение, рассмотрим случай, когда две системы вообще не взаимодействуют между собой Тогда вероятности найти систему в состоянии а

систему в состоянии не зависят друг от друга, а амплитуды могут быть факторизованы, т. е. записаны в виде (см. приложение А). Подставляя последнее выражение в (3.1.16), получаем

где состояния определены соответственно первым и вторым сомножителями в (3.1.2а). В этом случае зависит только от переменных системы а только от переменных системы Однако в общем случае, если две системы взаимодействовали друг с другом в прошлом, то амплитуды вероятности коррелированы и не могут быть факторизованы. Эти результаты можно резюмировать следующим образом.

Если две системы взаимодействовали в прошлом, то в общем случае невозможно приписать один вектор состояния любой из двух подсистем.

В этом состоит существо утверждения, иногда называемого принципом несепарабельности (dEspagnat, 1976). Мы показали, что этот принцип является прямым следствием общих правил квантовой механики. Следует заметить, что принцип несепарабельности имеет серьезный концептуальный смысл и вызывает многочисленные дискуссии, касающиеся интерпретации квантовой механики. По-видимому, высшим проявлением таких трудностей является знаменитый парадокс Эйнштейна — Розена — Подольского (см., например, dEspagnat, 1976; Jammer, 1974)). Из указанного принципа вытекает важное следствие. Пусть лишь одна из систем (для определенности подвергается наблюдению после взаимодействия. Несмотря на то что обе системы находились первоначально в чистых состояниях, взаимодействие создает корреляцию между двумя системами; следовательно, в более поздние моменты времени система будет обнаружена в смешанном состоянии. Таким образом, тот факт, что система не подвергается наблюдению, приводит к потере когерентности в системе Это важное следствие из принципа несепарабельности проиллюстрировано различными примерами в разд. 3.3 и 3.4, где обсуждается когерентность

только между вырожденными состояниями. Более общий случай когерентно возбужденных состояний с различными энергиями требует более детального обсуждения временной эволюции системы и будет рассмотрен в гл. 5.