4.4.2. Описание частиц со спином 1

Частицы со спином 1 описываются тремя базисными состояниями, соответствующим» трем возможным собственным значениям оператора Эти состояния можно представить в форме трехмерных векторов-столбцов:

В стандартном представлении (4.4.6а) операторы задаются следующими матрицами:

Компоненты вектора поляризации для частиц со спином определяются выражением

Для выражение (4.4.7) сводится к (1.1.4). Для имеем

Поучительно вычислить для трех базисных состояний Используя явные представления (4.4.6) и выполняя вычисления таким же образом, как в разд. 1.1.2, находим, что во всех трех состояниях, а соответственно для состояний

Важно отметить, что в состоянии вектор поляризации имеет нулевую величину. Это указывает на существенное различие между частицами со спином 1/2 и 1: для возможно чистое спиновое состояние, в котором отсутствует предпочтительное направление (т. е. не обязательно существует направление ориентации спинов). Это легко понять в рамках полукласспческой векторной модели. Состояние определяется вектором спина, который перпендикулярен оси z и прецессирует вокруг нее. Ясно, что в таком случае может существовать выделенная ось (ось ), но невозможно выделить направление вдоль этой оси. Указанным свойством, в частности, вызывается необходимость рассматривать величины более высокого ранга, чем вектор поляризации. Требуемые величины не должны зависеть от направления оси следовательно, можно использовать квадратичные комбинации типа или, в более общем случае, компоненты тензора второго ранга.

Более того, если сравнить пучок частиц в чистом состоянии со смесью частиц в состоянии частиц в состоянии то мы увидим, что в обоих случаях Таким образом, задание только вектора поляризации недостаточно для полного определения состояния частиц со спином 1, и необходимо ввести дополнительные параметры.

Наиболее систематический способ получения всех необходимых параметров заключается в построении соответствующих спин-тензоров для Если элементы спиновой матрицы плотности для спина 1 обозначить то, согласно (4.3.3), имеем

В силу условия (4.2.4) необходимо построить монополь, вектор и тензор второго ранга. Монополь определяется нормировкой

Соответствующую матрицу плотности можно записать в виде

Таким образом, если учесть условие эрмитовости (4.3.11), то в самом общем случае спиновая матрица плотности для спина 1 полностью определяется восемью действительными параметрами (девятью, если нормировка не предполагается, рассматривается как экспериментально определяемый параметр).

В качестве примера рассмотрим некогерентную смесь частиц в состоянии частиц в состоянии частиц в состоянии . В этом случае матрица плотности в представлении (4.4.5) диагональна:

где а есть общее число частиц. Подстановка (4.4.11) в (4.4.8) дает для тензорной поляризации выражение

а для векторной поляризации — выражение

(все компоненты с равны нулю).

Компоненты пропорциональны сферическим компонентам вектора поляризации. Подставляя вместо в (4.3.15а) и учитывая определение (4.4.7а), получаем

где сферические компоненты вектора определены выражением (4.4.4). Пять компонент тензора второго ранга можно построить из квадратичных комбинаций операторов спина согласно (4.2.19), где следует положить

Применение декартовых тензоров в вычислениях может иметь некоторые преимущества, однако при использовании сферических тензоров алгебраические выкладки упрощаются и вычисления становятся менее трудоемкими.

Наконец, рассмотрим следствия условия (2.2.12). Подставляя разложение (4.4.10) для и используя (4.2.24), находим и

При получении последнего выражения использованы соотношения (4.2.23), (4.2.24) и (4.3.11). Таким образом, спин-тензоры должны удовлетворять условию

причем

если (и только если) определяет чистое состояние. В литературе пучок частиц со спином 1 обычно называют полностью поляризованным, если он представляется чистым спиновым состоянием, т. е. если (и только если) выполняется условие (4.4.16). В этом случае состояние пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния который можно разложить по базисным состояниям (4.4.5):

Выражение (4.4.17) показывает, что полностью поляризованный пучок частиц со спином 1 в общем случае определяется пятью действительными параметрами, например абсолютной величиной коэффициентов и их относительными фазами.

Развитый здесь формализм представляет интерес для описания процессов рассеяния поляризованных частиц. Эта тема не рассматривается в данной книге, за исключением нескольких формул, приведенных в приложениях Детальное описание можно найти в учебниках по теории рассеяния (см., например, Rodberg, Thaler, 1967; Burke, Joachain,

1982). Обсуждение экспериментов по рассеянию поляризованных электронов, содержащее многие экспериментальные подробности, можно найти в книге Кесслера (Kessler, 1976). Более формальные аспекты теории рассмотрены Робсоном (Robson, 1974); см. также Blum, Kleinpoppen, 1981.