1.1.5. Спиновая матрица плотности и ее основные свойства

1.1.5.1. Основные определения

На любой вопрос, касающийся поведения чистого или смешанного состояния, можно ответить, указав состояния, присутствующие в смеси, а также их статистические веса Однако соответствующие вычисления часто бывают очень громоздкими. Поэтому мы опишем здесь альтернативный метод характеристики чистых и смешанных состояний.

Рассмотрим пучок из частиц, приготовленных в состоянии и еще один независимый от первого пучок из частиц, приготовленных в состоянии Для описания объединенного пучка введем оператор определяемый выражением

где

Оператор называют оператором плотности или статистическим оператором. Он описывает способ приготовления пучков и тем самым содержит всю информацию о полном пучке. В этом смысле смесь полностью определена своим оператором плотности. В частном случае чистого состояния оператор плотности дается выражением

Как будет показано ниже, обычно более удобно записывать оператор в матричной форме. Для этого выберем набор базисных состояний (обычно и разложим состояния по этому набору согласно соотношению (1.1.2):

В представлении (1.1.1) запишем

а для сопряженных состояний —

Применяя правила умножения матриц, получим для «внешнего произведения»

и аналогичное выражение для произведения Подставляя эти выражения в (1.1.18), находим матрицу плотности

Поскольку при выводе выражения (1.1.22) были использованы базисные состояния полученное выражение называют матрицей плотности в -представлении.

Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения В этих обозначениях общий элемент матрицы плотности, стоящий на пересечении строки и столбца, дается выражением

где

Матрица плотности имеет, очевидно, различную форму в разных представлениях, тогда как оператор (1.1.18) не зависит от выбора базисных состояний. Далее всегда будет предполагаться, что базисные состояния образуют ортонормированный набор, т. е.

где символ Кронекера; при выполняется условие (1.1.3).

При выполнении условия нормировки (1.1.3) след матрицы плотности дается выражением

которое не зависит от выбора представления.

В качестве примера рассмотрим случай смеси, состоящий из частиц, приготовленных в состоянии частиц, независимо приготовленных в состоянии

. Полный пучок описывается тогда оператором плотностп

где а матрица плотности в -представле-нин диагональна

1.1.5.2. Физический смысл матрицы плотности

Диагональные элементы матрицы плотности

имеют непосредственный физический смысл. Поскольку вероятность нахождения частицы смеси в состоянии равна а вероятность того, что состояние входит в равна произведение [представляет собой вероятность того, что частица, первоначально приготовленная в состоянии будет обнаружена в состоянии после того, как произведено измерение. Поэтому диагональный элемент (1.1.27) дает полную вероятность того, что частица будет обнаружена в соответствующем базисном состоянии

Таким образом, если пучок, описываемый оператором плотности о, пропускается через фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный параллельно (или антипараллельно) оси z, то диагональный элемент соответственно оператора -представлении дает вероятность прохождения частицы через фильтр.

Этот результат можно обобщить на случаи произвольных состояний Рассмотрим матричный элемент торый получается, если «зажать» оператор (1.1.18) между состоянием и сопряженным ему состоянием

Десь Сравнивая выражения (1.1.27) и (1.1.28), можно видеть, что матричный элемент представляет собой полную вероятность обнаружить частицу в чистом состоянии входящем в смесь, описываемую оператором Таким образом, если пучок, описываемый оператором направляется на фильтр, полностью пропускающий только пучок в состоянии то выражение (1.1.28) дает

вероятность того, что любая из частиц пучка пройдет через фильтр.

Пусть, например, пучок, описываемый матрицей глотпости направляется на фильтр, ориентированный вдоль оси Вероятность того, что частица из пучка пройдет через фильтр, определяется матричным элементом Разлагая по состояниям в соответствии с (1.1.12в) и используя выражение (1.1.26), получаем

Существенно отметить, что всю информацию о спиновом состоянии любого пучка можно получить (по крайней мере в принципе), если направлять такой пучок на фильтры Штерна-Герлаха с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности мы можем вычислить результат любого такого опыта с помощью соотношения (1.1.28). В этом смысле содержит всю существенную информацию о спиновом состоянии данного пучка.

1.1.5.3. Число независимых параметров

Рассмотрим далее, сколько параметров требуется для полного определения данной матрицы плотности. Комплексная матрица второго порядка [например, матрица типа (1.1.22)] определяется четырьмя комплексными величинами что соответствует восьми действительным параметрам. Матрица плотности эрмитова, следовательно, удовлетворяет условию

В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к выражениям (1.1.22) и (1.1.23). Отсюда следует, что диагональные элементы действительны и, кроме того, действительные и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями

Эти соотношения уменьшают число независимых действительных параметров до четырех. Условие нормировки (1.1.25)

фиксирует еще одни параметр, так что в итоге матрица плотности полностью характеризуется всего тремя действительными параметрами. Следовательно, для полного определения матрицы плотности, описывающей произвольный пучок частиц со спином 1/2, необходимо произвести три независимых измерения.

Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зрения. Определяя оператор плотности равенством (1.1.18), мы основывались на том, что нам был известен способ приготовления данного пучка. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих пучков. Чтобы записать оператор плотности или соответствующую ему матрицу плотности [выражения необходимо, очевидно, указать все присутствующие в смсси чистые состояния вместе с статистическими весами Однако, как было показано выше, для полного определения матрицы плотности для пучка любой сложности достаточно всего трех параметров.

Это не столь удивительно, как может показаться на первый взгляд, поскольку одна и та же матрица плотности может описывать различные смеси, приготовленные совершенно различными способами. Рассмотрим, например, смесь, описываемую оператором плотности

и смесь, описываемую оператором

Построив соответствующие матрицы плотности представлении и применив выражения (1.1.12а) и можно показать, что оба пучка описываются одной и той же матрицей плотности

Из соотношения (1.1.28) следует, что оба пучка во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, каким приготовлен пучок, недостаточно знать только элементы матрицы плотности. В действительности эта информация несущественна. Существенная информация содержится только в трех

независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по измерению поляризации. По указанной причине мы будем считать два пучка тождественными, если они описываются одной и той же матрицей плотности.

Выражение (1.1.18) обычно не применяется. Поэтому вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих пучков и их статистические веса, мы используем операциональный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых измерений. В следующем разделе мы опишем простой способ построения матрицы плотности, исходя из вектора поляризации.

1.1.5.4. Параметризация матрицы плотности

Умножим выражение (1.1.18) справа на матрицу Паули и вычислим след полученного оператора:

К этому результату можно прийти, используя явное матричное представление (1.1.6) и (1.1.21) или более непосредственно, применяя соотношение

Подставляя (1.1.14а) в (1.1.30), находим важный результат

где есть компонента вектора поляризации полного пучка.

С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы через компоненты Применяя правила действий с матрицами, можно показать, что в -представлении дается выражением

Более изящный метод получения последнего результата приведен в разд. 1.1.6.

Три компоненты представляют собой тот минимальный набор данных, который необходим для определения

матрицы плотности любого пучка; в дальнейшем мы будем считать матрицу плотности определенной выражением (1.1.33).

Проиллюстрируем применение выражения (1.1.33). Пусть пучок частиц, характеризуемый матрицей (1.1.33), проходит через фильтр, ориентированный в направлении Вероятность того, что частица пройдет через фильтр, согласно (1.1.28) определяется выражением

Аналогично, применяя выражения (1.1.12а), (1.1.12в) и (1.1.33), можно показать, что вероятности прохождения частицы через фильтр, ориентированный в направлениях равны соответственно

Дадим, наконец, еще одно полезное представление для получаемое путем перехода к системе координат где ось z параллельна вектору а оси х и у выбираются произвольно, но ортогональны друг другу и оси z. В этом случае Тогда в представлении с осью квантования матрица имеет вид

или, эквивалентно,

Если рассматриваемый пучок полностью поляризован, то

и пучок находится в чистом состоянии Если пучок не поляризован, то и соответствующая матрица плотности имеет вид

1.1.5.5. Идентификация чистых состояний

В разд. 1.1.2 было показано, что данный пучок находится в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его; вектора поляризации имеет максимально возможное значение; Представим теперь этот результат в другой форме более полезной при описании более сложных систем.

С помощью выражения (1.1.33) можно показать, что след матрицы дается выражением

следовательно, равенство

является необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. [Заметим, что равенство следа в (1.1.37) единице следует из условия нормировки (1.1.25).]

В случае чистого состояния условие (1.1.37) налагает дополнительное ограничение на элементы матрицы плотности] Таким образом, чистое состояние характеризуется только двумя независимыми параметрами в соответствии с выражением (1.1.9).