Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.1.5. Спиновая матрица плотности и ее основные свойства1.1.5.1. Основные определенияНа любой вопрос, касающийся поведения чистого или смешанного состояния, можно ответить, указав состояния, присутствующие в смеси, а также их статистические веса Рассмотрим пучок из
где Оператор
Как будет показано ниже, обычно более удобно записывать оператор
В представлении (1.1.1) запишем
а для сопряженных состояний —
Применяя правила умножения матриц, получим для «внешнего произведения»
и аналогичное выражение для произведения
Поскольку при выводе выражения (1.1.22) были использованы базисные состояния Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения
где Матрица плотности имеет, очевидно, различную форму в разных представлениях, тогда как оператор (1.1.18) не зависит от выбора базисных состояний. Далее всегда будет предполагаться, что базисные состояния образуют ортонормированный набор, т. е.
где При выполнении условия нормировки (1.1.3) след матрицы плотности дается выражением
которое не зависит от выбора представления. В качестве примера рассмотрим случай смеси, состоящий из
где
1.1.5.2. Физический смысл матрицы плотностиДиагональные элементы матрицы плотности
имеют непосредственный физический смысл. Поскольку вероятность нахождения частицы смеси в состоянии Таким образом, если пучок, описываемый оператором плотности о, пропускается через фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный параллельно (или антипараллельно) оси z, то диагональный элемент Этот результат можно обобщить на случаи произвольных состояний
Десь вероятность того, что любая из частиц пучка пройдет через фильтр. Пусть, например, пучок, описываемый матрицей глотпости
Существенно отметить, что всю информацию о спиновом состоянии любого пучка можно получить (по крайней мере в принципе), если направлять такой пучок на фильтры Штерна-Герлаха с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности 1.1.5.3. Число независимых параметровРассмотрим далее, сколько параметров требуется для полного определения данной матрицы плотности. Комплексная матрица второго порядка [например, матрица типа (1.1.22)] определяется четырьмя комплексными величинами
В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к выражениям (1.1.22) и (1.1.23). Отсюда следует, что диагональные элементы действительны и, кроме того, действительные и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями
Эти соотношения уменьшают число независимых действительных параметров до четырех. Условие нормировки (1.1.25) фиксирует еще одни параметр, так что в итоге матрица плотности полностью характеризуется всего тремя действительными параметрами. Следовательно, для полного определения матрицы плотности, описывающей произвольный пучок частиц со спином 1/2, необходимо произвести три независимых измерения. Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зрения. Определяя оператор плотности равенством (1.1.18), мы основывались на том, что нам был известен способ приготовления данного пучка. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих пучков. Чтобы записать оператор плотности или соответствующую ему матрицу плотности [выражения Это не столь удивительно, как может показаться на первый взгляд, поскольку одна и та же матрица плотности может описывать различные смеси, приготовленные совершенно различными способами. Рассмотрим, например, смесь, описываемую оператором плотности
и смесь, описываемую оператором
Построив соответствующие матрицы плотности
Из соотношения (1.1.28) следует, что оба пучка во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, каким приготовлен пучок, недостаточно знать только элементы матрицы плотности. В действительности эта информация несущественна. Существенная информация содержится только в трех независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по измерению поляризации. По указанной причине мы будем считать два пучка тождественными, если они описываются одной и той же матрицей плотности. Выражение (1.1.18) обычно не применяется. Поэтому вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих пучков и их статистические веса, мы используем операциональный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых измерений. В следующем разделе мы опишем простой способ построения матрицы плотности, исходя из вектора поляризации. 1.1.5.4. Параметризация матрицы плотностиУмножим выражение (1.1.18) справа на матрицу Паули
К этому результату можно прийти, используя явное матричное представление (1.1.6) и (1.1.21) или более непосредственно, применяя соотношение
Подставляя (1.1.14а) в (1.1.30), находим важный результат
где С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы
Более изящный метод получения последнего результата приведен в разд. 1.1.6. Три компоненты матрицы плотности любого пучка; в дальнейшем мы будем считать матрицу плотности определенной выражением (1.1.33). Проиллюстрируем применение выражения (1.1.33). Пусть пучок частиц, характеризуемый матрицей (1.1.33), проходит через фильтр, ориентированный в направлении
Аналогично, применяя выражения (1.1.12а), (1.1.12в) и (1.1.33), можно показать, что вероятности прохождения частицы через фильтр, ориентированный в направлениях
Дадим, наконец, еще одно полезное представление для
или, эквивалентно,
Если рассматриваемый пучок полностью поляризован,
и пучок находится в чистом состоянии
1.1.5.5. Идентификация чистых состоянийВ разд. 1.1.2 было показано, что данный пучок находится в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его; вектора поляризации имеет максимально возможное значение; С помощью выражения (1.1.33) можно показать, что след матрицы
следовательно, равенство
является необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. [Заметим, что равенство следа в (1.1.37) единице следует из условия нормировки (1.1.25).] В случае чистого состояния условие (1.1.37) налагает дополнительное ограничение на элементы матрицы плотности] Таким образом, чистое состояние характеризуется только двумя независимыми параметрами в соответствии с выражением (1.1.9).
|
1 |
Оглавление
|