2.2. Матрица плотности и ее основные свойства

Рассмотрим смесь независимо приготовленных состояний со статистическими весами Эти состояния не обязательно должны быть ортонормированы по отношению друг к другу. Оператор плотности, описывающий смесь, определится тогда следующим образом:

где суммирование ведется по всем состояниям, имеющимся в смеси; называют также статистическим оператором.

Чтобы представить оператор (2.2.1) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных

состояний, например который удовлетворяет условию (2.1.1). Используя принцип суперпозиции, имеем

тогда выражение (2.2.1) принимает вид

Беря матричные элементы выражения (2.2.3) между состояниями применяя условия ортонормировки (2.1.2а), получаем

Набор всех элементов (2.2.4), где пробегают по всем базисным состояниям, которые включены в сумму (2.2.2), дает явное матричное представление оператора (2.2.1), или так называемую матрицу плотности. Поскольку при этом использованы базисные состояния принято говорить, что набор (2.2.4) дает элементы матрицы плотности в -представлении.

Теперь выведем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности, с которыми мы познакомились в гл. 1. Прежде всего из формулы (2.2.4) видно, что представляет собой эрмитов оператор; это означает, что для матрицы (2.2.4) выполняется следующее условие:

Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состояния равна и поскольку вероятность того, что можно обнаружить в (чистом) состоянии равна вероятность обнаружить систему в состоянии дается диагональным элементом

Это выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов Физическое значение недиагональных элементов будет рассмотрено в разд. 2.3. Поскольку вероятности — положительные числа, из выражения (2.2.6) следует, что

Используя те же аргументы, что и в гл. 1, можно показать, что вероятность найти систему в состоянии после

измерения дается матричным элементом

при условии нормировки (2.1.4). Это становится очевидным, если подставить выражение (2.2.1) для в (2.2.7):

и интерпретировать коэффициенты согласно формуле (2.1.3).

След оператора представляет собой константу, не зависящую от представления. Из условия нормировки (2.1.4) и условия

следует, что

Среднее (или математическое ожидание) любого оператора равно следу произведения операторов

При получении (2.2.9) мы сначала подставили (2.2.2) в формулу (2.1.7) и затем использовали (2.2.4). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки (2.2.8) (как это было сделано в разд. 1.2.4), величина дается выражением

Выражение (2.2.9) представляет собой важный результат. Напомним, что, согласно квантовой механике, всю информацию о поведении данной системы можно выразить через ожидаемые (средние) значения соответственно подобранных операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычислении средних значений. Поскольку среднее значение любого оператора может быть получено с помощью выражения (2.2.9), матрица плотности содержит всю физически существенную информацию о системе.

До сих пор матрица плотности была определена соотношением (2.2.4). В общем случае, однако, удобнее считать, что

определяется выражением (2.2.9) следующим образом. Следует выбрать столько операторов сколько имеется независимых параметров у оператора Средние значения операторов представляют собой начальную информацию о системе. Соответствующую матрицу плотности можно найти, решив систему уравнений

Если матрица плотности определена таким образом, любое другое среднее значение можно получить, применяя выражение (2.2.9). Например, как было показано в разд. 1.1, матрицу плотности для частиц со спином 1/2 можно получить, если известны три средние значения т. е. средние значения компонент вектора поляризации.

Указанный метод имеет несколько преимуществ. Прежде всего определение смеси (2.2.1) не является единственным (по причинам, изложенным в разд. 1.1.5). Кроме того, начальная информация о системе часто выражается через средние значения набора операторов, а не с помощью указания чистых состояний, участвующих в смеси. Такой подход, в частности, предлагал Фано (Fano, 1957); мы вернемся к нему в гл. 4.

Рассмотрим теперь число независимых параметров, необходимое для определения данной матрицы плотности. Оно зависит от числа ортогональных состояний, по которым производится суммирование в выражениях (2.2.2). Вообще говоря, это число бесконечно, однако часто оно становится конечным, когда интерес представляет какое-либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена. В последующем обсуждении мы рассмотрим случай, при котором число базисных состояний в разложении (2.2.2) равно Тогда матрица представляет собой -мерную квадратную матрицу, содержащую комплексных элементов (что соответствует действительным параметрам). Условие эрмитовости (2.2.5) ограничивает число независимых действительных параметров до кроме того, след фиксирован условием нормировки. Отсюда вытекает, что -мерная матрица плотности полностью определяется с помощью действительных параметров [или параметров, если отказаться от условия нормировки (2.2.8), как, например, это сделано в (1.2.17)]. Это число можно уменьшить с помощью соображений симметрии; его можно и далее уменьшить, если известно, что рассматриваемая система находится в чистом состоянии. Мы дадим соответствующий явный пример в разд. 3.5,

Если данная система находится в чистом состоянии, представляемом вектором состояния то соответствующий оператор плотности имеет вид

Матрицу плотности можно построить в представлении, в котором является одним из базисных состояний. Например, можно выбрать набор ортонормированных состояний В этом представлении все элементы матрицы будут, очевидно, равны нулю, кроме элемента на пересечении первой строки и первого столбца. Тогда, как нетрудно видеть,

Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. В принципе эту задачу всегда можно решить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы обращаются в нуль, кроме одного (например, диагонального элемента), то система находится в чистом состоянии, представляемом базисным вектором. Однако диагонализация часто утомительна, поэтому полезно вывести условие, которое проще применять. Прежде всего докажем, что соотношение

справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную матрицу плотности, которая преобразована к диагональной форме, с диагональными элементами Тогда

Ввиду того что вероятности положительные числа, отсюда непосредственно следует справедливость неравенства (2.2.12) для диагонального представления. Поскольку численное значение следа остается неизменным при преобразовании базисных состояний, неравенство (2.2.12) справедливо в любом представлении, а не только в диагональном.

Положим теперь, что в (2.2.12) имеет место знак равенства. В диагональном представлении отсюда в соответствии с (2.2.13) следует условие

Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности кроме одной (например, обратятся

в нуль. Следовательно, содержит только один отличный от нуля диагональный элемент в диагональном представлении, и система находится в чистом состоянии, представленном базисным вектором.

Итак, соотношение (2.2.11), как мы доказали, является необходимым и достаточным условием того, что данная матрица плотности описывает чистое состояние. Некоторые следствия из этого результата обсуждались в гл. 1; дальнейшие примеры будут приведены в гл. 3.

Рассмотрим в заключение случай хаотического распределения полного набора состояний . В качестве примера можно взять ансамбль атомов со спином и третьей компонентой Этот ансамбль характеризуется векторами состояний где обозначает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного определения состояний. Пусть, далее, все атомы имеют одинаковые значения однако ансамбль представляет собой смесь по отношению к причем все различные спиновые состояния могут быть найдены с одной и той же вероятностью Такой смеси соответствует оператор плотности

где - единичная матрица размерности в спиновом пространстве. Мы применили здесь соотношение полноты (2.1.26) к спиновым состояниям. Очевидно, соответствующая матрица плотности диагональна с равными элементами в любом представлении. Обобщая определение, данное в разд. 1.2.5 [см. (1.2.33)], будем называть атомную систему неполяризованной, если она может быть представлена оператором вида (2.2.14).