Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.2. Матрица плотности и ее основные свойстваРассмотрим смесь независимо приготовленных состояний
где суммирование ведется по всем состояниям, имеющимся в смеси; Чтобы представить оператор (2.2.1) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных состояний, например
тогда выражение (2.2.1) принимает вид
Беря матричные элементы выражения (2.2.3) между состояниями
Набор всех элементов (2.2.4), где Теперь выведем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности, с которыми мы познакомились в гл. 1. Прежде всего из формулы (2.2.4) видно, что
Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состояния равна
Это выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов
Используя те же аргументы, что и в гл. 1, можно показать, что вероятность найти систему в состоянии измерения дается матричным элементом
при условии нормировки (2.1.4). Это становится очевидным, если подставить выражение (2.2.1) для
и интерпретировать коэффициенты След оператора
следует, что
Среднее (или математическое ожидание) любого оператора
При получении (2.2.9) мы сначала подставили (2.2.2) в формулу (2.1.7) и затем использовали (2.2.4). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки (2.2.8) (как это было сделано в разд. 1.2.4), величина
Выражение (2.2.9) представляет собой важный результат. Напомним, что, согласно квантовой механике, всю информацию о поведении данной системы можно выразить через ожидаемые (средние) значения соответственно подобранных операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычислении средних значений. Поскольку среднее значение любого оператора может быть получено с помощью выражения (2.2.9), матрица плотности содержит всю физически существенную информацию о системе. До сих пор матрица плотности была определена соотношением (2.2.4). В общем случае, однако, удобнее считать, что
Если матрица плотности Указанный метод имеет несколько преимуществ. Прежде всего определение смеси (2.2.1) не является единственным (по причинам, изложенным в разд. 1.1.5). Кроме того, начальная информация о системе часто выражается через средние значения набора операторов, а не с помощью указания чистых состояний, участвующих в смеси. Такой подход, в частности, предлагал Фано (Fano, 1957); мы вернемся к нему в гл. 4. Рассмотрим теперь число независимых параметров, необходимое для определения данной матрицы плотности. Оно зависит от числа ортогональных состояний, по которым производится суммирование в выражениях (2.2.2). Вообще говоря, это число бесконечно, однако часто оно становится конечным, когда интерес представляет какое-либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена. В последующем обсуждении мы рассмотрим случай, при котором число базисных состояний в разложении (2.2.2) равно Если данная система находится в чистом состоянии, представляемом вектором состояния
Матрицу плотности можно построить в представлении, в котором
Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. В принципе эту задачу всегда можно решить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы
справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную матрицу плотности, которая преобразована к диагональной форме, с диагональными элементами
Ввиду того что вероятности Положим теперь, что в (2.2.12) имеет место знак равенства. В диагональном представлении отсюда в соответствии с (2.2.13) следует условие
Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности в нуль. Следовательно, Итак, соотношение (2.2.11), как мы доказали, является необходимым и достаточным условием того, что данная матрица плотности описывает чистое состояние. Некоторые следствия из этого результата обсуждались в гл. 1; дальнейшие примеры будут приведены в гл. 3. Рассмотрим в заключение случай хаотического распределения полного набора состояний
где
|
1 |
Оглавление
|