7.5. Некоторые свойства матрицы релаксации

7.5.1. Общие ограничения на элементы матрицы релаксации

В разд. 7.1 было показано, что производная по времени от матрицы плотности в марковском приближении определяется системой связанных дифференциальных уравнений, которые в представлении взаимодействия имеют вид

В секулярном приближении (7.1.28) имеем

где первый член отличен от нуля только при

Совокупность не зависящих от времени коэффициентов называется матрицей релаксации. Из результатов предыдущих разделов следует, что например, определяет скорость перехода атомов с уровня на уровень Здесь мы, следуя работе Хаппера (Happer, 1972), покажем, что физические соображения налагают некоторые важные ограничения на элементы матрицы релаксации. При этом будут вновь получены и обобщены некоторые результаты, выведенные в предыдущих разделах.

1. Если механизм релаксации не меняет число имеющихся атомов, то из вероятностной интерпретации диагональных элементов матрицы плотности следует, что

Так как в общем случае имеем

для любых

2. Рассмотрим уравнение, полученное из (7.5.1) комплексным сопряжением:

Из условия эрмитовости следует

Из уравнений (7.5.1) и (7.5.36) вытекает

откуда находим

3. Диагональные элементы матрицы плотности неотрицательны и не могут быть больше единицы (см. разд. 2.2). Чтобы обеспечить выполнение этих условий, элементы матрицы релаксации должны удовлетворять следующим условиям:

для любых двух ортогональных атомных состояний В справедливости этих условий можно убедиться следующим образом. Пусть в некоторый момент заселен только один уровень При этом

для любого состояния Поскольку элемент имеет максимум в момент он может только уменьшаться или оставаться равным единице согласно (7.5.4а). Элемент же имеет минимум в момент и поэтому может только увеличиваться или оставаться нулевым согласно (7.5.46).