2.4. Временная эволюция статистических смесей

2.4.1. Оператор временной эволюции

Эволюция во времени квантовомеханических состояний описывается уравнением Шредингера

уравнение для сопряженных состояний имеет вид

Гамильтониан может зависеть явно от времени, например если Я содержит член взаимодействия обусловленный внешним полем, изменяющимся во времени. Мы, однако, предположим здесь, что Я не зависит от времени.

В этом разделе мы рассмотрим, как можно иным полезным способом выразить информацию, содержащуюся в уравнении (2.4.1). Обозначим собственное состояние Я с энергией через

Если система при представляется собственным состоянием то в момент времени ту же систему можно обнаружить в состоянии

которое, очевидно, является решением уравнения Таким образом, эволюция во времени собственных состояний полного гамильтониана получается простым умножением состояний на множитель

Соотношение (2.4.3) можно обобщить в следующем отношении. Любое решение уравнения (2.4.1) можно разложить по набору собственных состояний

где коэффициенты не зависят от времени. Последнее можно показать, подставляя (2.4.4) в уравнение Шредингера и применяя (2.4.2). В частности, в момент

В этом случае, т. е. при использовании в качестве базисного набора собственных состояний не зависящего от времени полного гамильтониана, коэффициенты можно определить, задавая начальные условия. Выражение показывает, как любое состояние эволюционирует во времени. Если собственные состояния и собственные значения гамильтониана известны, то можно предсказать динамическую эволюцию любого вектора состояния. Разложение (2.4.4) можно записать в более абстрактной форме. Прежде всего имеем

где экспоненциальная операторная функция определена соотношением

Действуя оператором на и затем применяя свойство (2.4.2) к каждому слагаемому, можно получить выражение (2.4.5). Подставляя (2.4.5) в (2.4.4), находим

Функцию в виде (2.4.7) можно найти также более прямым способом, формально интегрируя уравнение (2.4.1).

Оператор содержит всю информацию об эволюции во времени любого состояния а следовательно, и о динамике системы. Если состояние системы при известно, то состояние, представляющее систему в более поздние моменты времени можно найти, действуя на оператором Если является собственным состоянием полного гамильтониана, то выражение (2.4.7) переходит в (2.4.3). Однако (2.4.7) представляет собой лишь формальное решение уравнения Шредннгера. Действительно, для использования указанного выражения при получении временной зависимости состояния необходимо знать действие экспоненциального оператора на это в свою очередь требует, например, знания всех собственных состояний и собственных значений гамильтониана Тем не менее запись решения в виде (2.4.7) оказывается очень полезной.

Рассмотрим теперь случай, когда гамильтониан явно зависит от времени. В этом случае уравнение Шредингера

не имеет простых решений (2.4.4) и (2.4.7). Однако выражение (2.4.7) можно обобщить, вводя оператор так называемый оператор временной эволюции, который переводит состояние в состояние

и для сопряженных состояний

Подстановка выражения (2.4.9) в уравнение Шредингера

Поскольку соотношение (2.4.10а) выполняется для любого состояния его можно записать в виде операторного уравнения

В момент система должна находиться в состоянии Чтобы обеспечить выполнение указанного условия, необходимо наложить дополнительное начальное условие

Для сопряженного оператора имеем

Действуя на уравнение (2.4.10) оператором слева, а на уравнение (2.4.12) — оператором справа, а затем вычитая полученные уравнения друг из друга, находим

Отсюда следует, что оператор не должен зависеть от времени; принимая во внимание начальное условие (2.4.11)

приходим к выводу, что унитарный оператор, единичный оператор.

Можно дать интерпретацию выражения (2.4.9), заметив, что величина

представляет собой вероятность нахождения системы в момент времени в состоянии если в момент времени она находилась в состоянии

Содержание этого раздела можно резюмировать следующим образом. Эволюцию во времени состояния можно определить, либо решая уравнение Шредингера (2.4.8), либо, что эквивалентно, находя путем решения уравнения (2.4.10). Если не зависит от времени, то, формально интегрируя (2.4.10), находим

с начальным условием (2.4.11). В этом случае (2.4.9) сводится к (2.4.7). Соответственно для сопряженного оператора имеем

В общем случае, однако, Я содержит явную зависимость от времени, и решение уравнения (2.4.10) будет значительно более сложным, чем уравнения (2.4.1). Мы рассмотрим эту задачу в разд. 2.4.3.