4.2.4. Некоторые свойства тензорных операторов

Оператор сопряженный оператору можно определить, выразив его матричные элементы через элементы (4.2.9):

В данном случае звездочка, означающая комплексное сопряжение, оказывается излишней, так как матричные элементы (4.2.9) действительны. Соотношение (4.2.21) определяет представление оператора как матрицы с строками и столбцами, которая получается из матрицы (4.2.9) заменой строк на столбцы. Чтобы найти соотношение между операторами, правую часть соотношения (4.2.21) нужно преобразовать в матрицу с строками и столбцами. Подставляя (4.2.9) в (4.2.21) и используя свойство симметрии -символа получаем

где -символ во второй строке выражен через элементы (4.2.9). Из (4.2.22) следует

где теперь оба оператора представлены матрицами с строками и столбцами.

Соотношение (4.2.23) можно использовать для получения важного результата. С помощью (4.2.9), условия ортонормированности -символов получаем

Заметим, что произведение является квадратной матрицей с строками и столбцами, поэтому след этого произведения определен. Из (4.2.24) следует, что

где мы использовали (4.2.14). Следовательно, все тензоры за исключением монополя, имеют нулевой след.

Наконец, напомннм, что в теории углового момента для всех неприводимых тензорных операторов справедлива теорема Вигнера-Эккарта:

Важно отметить, что приведенный матричный элемент есть скаляр и не зависит от Следует также иметь в виду, что -снмвол является известным числовым множителем, который отражает геометрию взаимодействия. Таким образом, теорема Внгнера-Эккарта отделяет те величины, которые явно зависят от динамики взаимодействия, от чисто геометрических величин.

Применение соотношения (4.2.26) к тензорным операторам дает

где соответствующий приведенный матричный элемент. Сравнивая (4.2.27) с (4.2.9) и используя свойства симметрии -символа можно видеть, что

Подстановка (4.2.28) обратно в (4.2.27) показывает, что тензорные операторы представляют собой чисто геомет рические величины.