2.3.2. Понятие когерентной суперпозиции

Полезно провести следующее обобщение выражения (2.3.4), Оператор плотности возбужденных атомов непосредственно после возбуждения дается выражением Используя состояния и с определенными энергиями в качестве базисных, можно найти элементы матрицы плотности (в энергетическом представлении) и для возбужденного состояния; они имеют вид Разумно поэтому сделать следующее обобщение уравнения (2.3.4) (формальное доказательство будет дано в гл. 5). Пусть в момент времени возбужденное состояние атома не является чистым, но представляется -матрицей плотности с базисными векторами . В этом случае выражение (2.3.4) все еще сохраняет силу, если вместо величин а подставить элементы матрицы плотности Отсюда следует, что квантовые биения связаны с эволюцией во времени недиагональных элементов матрицы плотности возбужденного состояния Если матрица плотности диагональна в энергетическом представлении, то никаких интерференционных членов в выражении (2.3.4) не возникает.

Указанная связь между интерференцией и недиагональными элементами соответствующей матрицы плотности носит общий характер, что будет видно из дальнейшего обсуждения. Дадим поэтому следующее определение. Если данную систему можно охарактеризовать матрицей плотности, записанной в представлении с базисными векторами то

система представляет собой когерентную суперпозицию базисных состояний если ее матрица плотности недиагональна в -представлении. Если, кроме того, система находится в чистом состоянии, то ее называют полностью когерентной. Если матрица диагональна, то система представляет собой так называемую некогерентную суперпозицию базисных состояний (при условии, что имеется более одного отличного от нуля элемента) (Cohen-Tannouidji, 1962).

В этом смысле временная модуляция интенсивности служит проявлением когерентного возбуждения состояний с различной энергией [см. (2.3.1)].

Различие между полной когерентностью и просто когерентностью часто несущественно, и в литературе термин «когерентность» обычно применяется в обоих случаях. Мы также будем следовать этому правилу, когда нас не интересует, находится ли рассматриваемая система в чистом состоянии или

нет. Понятие когерентной суперпозиции зависит от выбора представления для матрицы плотности. Например, смссь независимо приготовленных состояний (2.2.1) представляет собой некогерентную суперпозицию состояний но в общем случае она является также когерентной суперпозицией базисных состояний [как видно из (2.2.3) и (2.2.4)].

Приведенное выше определение можно рассмотреть и с другой точки зрения. Чистое состояние всегда можно записать в виде линейной комбинации базисных состояний; следовательно, оно является полностью когерентной суперпозицией базисных состояний. Величины и фазы коэффициентов в этом разложении хорошо определены (с точностью до общей фазы); следовательно, между базисными состояниями существует определенное фазовое соотношение. Другим предельным случаем является смесь независимо приготовленных базисных состояний представляемых оператором плотности

при отсутствии каких-либо определенных фазовых соотношений. Матрица диагональна в -представленин и, по определению, состояния складываются некогерентно. Смесь состояний представляемых матрицей плотности, не диагональной в -представлении [см., на пример, (2.2.3) и (2.2.4)], относится к случаю, промежуточному между двумя предельными: полной когерентности и некогерентности по отношению к Дадим теперь более общее определение.

Система считается некогерентной суперпозицией состояний Им) если ее можно представить оператором плотности

Если набор ортонормирован, эти состояния можно использовать в качестве базисных, и данное определение эквивалентно приведенному выше.

В качестве примера рассмотрим атомную систему, представляющую собой когерентную суперпозицию своего основного состояния (угловой момент и возбужденного состояния с Элементы матрицы плотности для данной системы записываются в виде

В явной матричной записи имеет вид

Матрица (2.3.6) распадается на четыре подматрицы. Верхняя состоит из одного элемента: вероятности нахождения системы в своем основном состоянии. Элементы квадратной субматрицы характеризуют возбужденное состояние. Именно, диагональные элементы описывают вероятности нахождения атома в соответствующем подсостояни» с квантовым числом Недиагональные элементы описывают эффекты когерентности между различными частными состояниями. Остающиеся элементы в первой строке и первом столбце матрицы (2.3.6) характеризуют интерференцию между возбужденным и основным состояниями. Матрицы плотности вида (2.3.6) возникают, например, в теории оптической накачки, соответствующей переходам