7. Квантовая теория релаксации

7.1. Уравнения для матрицы плотности диссипативных квантовых систем

7.1.1. Условия необратимости. Марковские процессы

Рассмотрим незамкнутую систему, находящуюся в постоянном контакте с окружающей средой и обменивающуюся с ней энергией, поляризацией и т. д. Если вначале система находится в неравновесном состоянии, то с течением времени — при определенных условиях, которые будут сформулированы ниже, — она перейдет в равновесное состояние, определяемое внешними условиями, в частности температурой. Этот постепенный переход в равновесное состояние называется процессом релаксации. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые методы изучения таких процессов.

Явления релаксации представляют собой необратимые процессы. Фундаментальные квантовомеханические уравнения движения — уравнения Шредингера и Лиувилля — описывают обратимую эволюцию во времени, поэтому основная проблема заключается в решении вопроса, каким образом может возникнуть необратимость, если микроскопическое поведение частиц строго обратимо. В последние годы достигнут успех в решении этого вопроса. Подробное рассмотрение современной теории выходит за рамки нашей книги, и мы рекомендуем читателям, интересующимся подробностями, обратиться к современным учебникам по статистической физике, например к книге Пригожина (Prigogine, 1981).

Начнем с понятий, введенных в разд. 3.2. Рассмотрим систему взамодействующую с ненаблюдаемой системой Обозначим матрицу плотности полной системы через и полный гамильтониан через где гамильтонианы систем а V описывает взаимодействие между . В представлении взаимодействия временная эволюция описывается уравнением (2.4.41) или (2.4.42). Подстановка (2.4.42) в (2.4.41) дает

где производная по времени от оператора операторы в представлении взаимодействия, связанные с их шредингеровским представлением соответственно соотношениями (2.4.37) и (2.4.25), в которых следует заменить на

Приведенная, или редуцированная, матрица плотности описывающая рассматриваемую систему получается из путем взятия следа по всем переменным ненаблюдаемой системы согласно выражению (3.2.5). Таким образом, в представлении взаимодействия

и из уравнения (7.1.1) получаем

При записи уравнений (7.1.1) и (7.1.3) предполагалось, что взаимодействие включается в момент времени До этого момента некоррелированы, и полная матрица плотности равна прямому произведению (см. приложение А):

Связь между двумя системами может приводить к обратимому изменению энергии, поляризации и т. д. Такой пример был рассмотрен в разд. 5.7: связь орбитального углового момента с ненаблюдаемой системой спинов. Чтобы возник необратимый процесс, необходимо наложить на ненаблюдаемую систему дополнительные условия, препятствующие тому, чтобы энергия, первоначально содержащаяся в системе и перешедшая в ненаблюдаемую систему переходила в систему за любое конечное время.

В этом вопросе мы следуем Фано (Fano, 1957) и делаем первое из двух ключевых предположений. Предполагается, что имеет так много степеней свободы, что результат взаимодействия с быстро исчезает и не оказывает сколько-нибудь значительной обратной реакции на поэтому система всегда описывается с помощью теплового равновесного распределения при постоянной температуре независимо от количества энергии и степени поляризации, перешедших в нее из системы Другими словами, мы предполагаем, что можно пренебречь реакцией на [поэтому система всегда описывается матрицей плотности и корреляциями между вызванными взаимодействием. В таком случае

можно представить в каждый момент времени в более простом виде:

не вводя сколько-нибудь заметной ошибки при вычислении Матрица плотности определяется формулой (2.6.1):

Соотношение (7.1.5) является основным условием необратимости.

Далее мы будем рассматривать поведение «малой» динамической системы связанной с «большой» системой имеющей много степеней свободы. Во всей этой главе мы будем называть большую систему «термостатом» или «резервуаром». Например, атомы в газе сталкиваются с другими атомами, и последние могут играть роль теплового резервуара для рассматриваемых атомов. Свет в замкнутой полости взаимодействует со стенками, которые играют роль термостата для света. В экспериментах по магнитному резонансу спиновые переменные взаимодействуют с другими степенями свободы («решеткой») и переменные решетки образуют термостат.

Подстановка в уравнение (7.1.3) приближенной матрицы плотности (7.1.5) дает

Следует заметить, что поправки, не учитываемые в (7.1.6) и (7.1.7), можно рассматривать путем последовательных приближений. Если член взаимодействия V равен нулю, то система и резервуар некоррелированы и Если взаимодействие V мало (т. е. ), то можно записать

где имеет порядок малости Подставляя (7.1.8) в (7.1.3) и удерживая члены порядка мы получаем уравнение (7.1.7). Следовательно, (7.1.7) представляет собой уравнение движения для динамической системы с точностью до второго порядка по взаимодействию.

В уравнении стоит под интегралом, следовательно, поведение системы зависит от ее предыстории с

момента времени до момента Однако движение системы 5 демпфируется за счет ее связи с резервуаром; это демпфирование уничтожает информацию о поведении системы в прошлом. Поэтому мы делаем второе ключевое предположение: зависит только от текущего значения Другими словами, предполагается, что система теряет всю память о своем прошлом. Тогда в уравнении (7.1.7) можно сделать замену

Эта замена соответствует марковскому приближению и приводит к уравнению

В следующем разделе мы рассмотрим марковское приближение более подробно.