4.2. Определение тензорных операторов

4.2.1. Общее правило построения

Рассмотрим два ансамбля; в первом частицы обладают угловым моментом а во втором — угловым моментом Если два ансамбля взаимодействуют, то удобно классифицировать возможные состояния, исходя из полного момента и его z-компоненты, которые мы обозначим здесь соответственно через Обычное правило сложения моментов дает

Состояния ортонормировании:

Теперь рассмотрим систему операторов определенных как внешние произведения состояний углового момента [см. (1.1.21)]. Состояние можно представить -мерным вектором-столбцом с единицей в строке и нулями в остальных строках. Соответствующее сопряженное состояние тогда представляется вектором-строкой с единицей в столбце и нулями в остальных. Внешнее произведение тогда можно представить матрицами, используя правило (1.1.21).

Удобно ввести комбинацию операторов подобную (4.2.1). Система операторов определяется соотношением

Коэффициент Клебша — Гордана отличен от нуля только в том случае, когда удовлетворяется обычное правило сложения угловых моментов:

Поэтому для любой данной пары угловых моментов число операторов (4.2.3) ограничено; так, например, если возможны следующие операторы: один с три с и пять с .

Явное матричное представление операторов (4.2.3) можно получить, заключая соотношение (4.2.3) между состояниями и применяя условие (4.2.2):

Совокупность всех элементов данного оператора определяет матрицу с строками и столбцами:

Если то получается -мерная квадратная матрица.

Обратное к (4.2.3) соотношение можно получить, умножая обе стороны (4.2.3) на коэффициент Клебша-Гордана () и суммируя по всем значениям с учетом свойства ортогональности коэффициентов Клебша—Гордана (см. приложение В):

Наконец, если использовать -символы для коэффициентов связи, то определение (4.2.3) можно представить в виде

что

Эта частная форма очень полезна, так как специальные свойства симметрии -символа [см. ] позволяют устанавливать соответствующие свойства симметрии тензорных операторов наиболее прямым путем.