7.4. Уравнения Блоха

7.4.1. Магнитный резонанс

В этом разделе мы применим уравнение (7.3.4) к задаче о магнитном резонансе. Простейшей системой, в которой

можно наблюдать магнитный резонанс, является двухуровневая система, например атомы или молекулы с нулевым орбитальным угловым моментом и спином 1/2 или атомы с нулевым угловым моментом электронов и спином ядра 1/2.

Если статическое магнитное поле приложено в направлении z, то энергии двух спиновых состояний соответствующих ориентации «спин вверх» и «спин вниз», определяются выражением

(см. рис. 7.2, где предполагается, что магнитный момент положителен). Энергетическое расщепление равно

Рис. 7.2. Расщепление энергетического уровня в статическом магнитном поле.

Пусть к системе приложено поперечное электромагнитное поле с напряженностью магнитного поля которое осциллнрует с угловой частотой удовлетворяющей условию резонанса:

(ларморовской частотой). Тогда энергия поля будет поглощаться за счет перехода электронов (или ядер) с нижнего уровня на верхний (возбуждение). В случае парамагнитного, или электронного спинового резонанса требуемые частоты лежат в микроволновой области. В случае ядерного магнитного резонанса необходимы радиочастоты.

Число атомов в верхнем состоянии увеличивается за счет падающего излучения. Однако одновременно идет и обратный процесс, обусловленный релаксацией, которая приводит к передаче энергии возбужденного состояния «окружающей среде» и стремится восстановить условия теплового равновесия. Действие этих конкурирующих факторов на спиновую матрицу плотности описывается уравнением (7.3.4),

в котором гамильтониан включает теперь статическое поле Н:

Гамильтониан невозмущенных спиновых состоянии не входит в уравнение движения из-за вырожденности этих состояний. Используя (7.3.36), представим взаимодействие спина с внешними полями с помощью гамильтониана:

Прежде всего рассмотрим уравнения (7.3.5) в отсутствие РЧ-поля. При этом

Будем считать, что каждый рассматриваемый спин реагирует на внешние поля независимо от всех других спинов и что «окружающую среду» можно рассматривать как тепловой резервуар в состоянии теплового равновесия. Добавляя и вычитая член в уравнении (7.4.6), с учетом условия получаем

откуда вытекает

В состоянии теплового равновесия и из (7.4.8) следует

соответственно вероятности заселенностей уровней при тепловом равновесии (в присутствии статического поля). Определив параметр выражением

Уравнение (7.4.8) можно записать в виде

Заметим, что величина действительна в силу (7.1.30),

РЧ-поле можно учесть, добавляя соответствующие члены в уравнение (7.4.11):

Теперь рассмотрим недиагональные элементы, пренебрегая мнимой частью (т. е. сдвигом линии). В этом приближении определим следующим образом:

и запишем уравнение для недпагональных элементов

которое можно представить в виде

где — гамильтониан (7.4.5).

Макроскопическая намагниченность определяется формулой (2.6.6):

где — соответствующая матрица Паули, полное число атомов в единице объема, у — гиромагнитное отношение. Используя выражения (1.1.6) для матриц Паули, можно записать в явном виде:

В отсутствие эффекта релаксации уравнение движения для вектора намагниченности совпадает с (2.5.5) с заменой на на Добавляя релаксационные члены и используя уравнения (7.4.11), (7.4.15) и (7.4.166), получаем

Как показывает уравнение есть равновесное значение в отсутствие РЧ-поля.

Уравнения (7.4.17) называются уравнениями Блоха; они были впервые выведены Блохом в 1946 г. (Bloch, 1946) для атомов с уровнями, а в дальнейшем обобщены (Bloch, Wangsness, 1952). Основная особенность общих уравнений Блоха состоит в том, что влияние релаксации описывается с помощью двух действительных параметров

Мы привели здесь вывод уравнений Блоха главным образом для того, чтобы объяснить различные содержащиеся в них приближения. Эти приближения не всегда справедливы, и релаксация в общем случае описывается не столь просто, как в уравнениях (7.4.17). Тем не менее эти уравнения во многих случаях описывают наблюдаемые явления с хорошей точностью. Следует заметить, что макроскопическая намагниченность определяется такими же уравнениями, как и в классических феноменологических теориях, и можно показать, что значения равны значениям, полученным в классических моделях. Это объясняется тем, что в уравнениях (7.3.4) не учитывается спонтанное излучение. Подробное обсуждение затронутого вопроса можно найти в книге Абрагама (Abragam, 1961). В заключение заметим, что в полуклассических теориях, как указывалось в разд. откуда следует в противоречии с экспериментом.