1.2.5. Описание посредством параметров Стокса

1.2.5.1. Параметризация p посредством параметров Стокса

Здесь и далее будем использовать условие нормировки (1.2.17). Как было показано в предыдущем разделе, для полного определения состояния поляризации произвольного пучка необходимо провести четыре независимых измерения. Наиболее удобен тот набор измерений, который дает следующую информацию:

1. Полную интенсивность пучка

2. Степень линейной поляризации относительно осей определенную равенством

где обозначает интенсивность, пропущенную призмой Николя, ориентированной под углом (3 относительно оси х.

3. Степень линейной поляризации относительно двух взаимно перпендикулярных осей, направленных под углом 45° к оси х, определенную равенством

4. Степень круговой поляризации, определенную равенством

где интенсивность света, прошедшего через поляризационные фильтры, полностью пропускающие только фотоны с положительной (отрицательной) спиральностью.

Набор параметров 1—4 называется параметрами Стокса; их подробное описание можно найти в книге Борна и Вольфа (Born, Wolf, 1970) (см. также McMaster, 1954; Farago, 1971).

Установим связь между параметрами Стокса и элементами матрицы плотности. Обозначая элементы матрицы через запишем

где в силу условия эрмитовости (1.1.29).

В соответствии с (1.2.17) полную интенсивность можно записать так:

Для получения следует вычислить интенсивности Из (1.2.19) имеем

В представлении, в котором в качестве базисных используются состояния с определенной спиральностью, векторы состояний описываются выражениями (1.2.12), откуда

Аналогично имеем

Отсюда следует, что

Совершенно так же можно вычислить параметр определенный выражением (1.2.216). В этом случае оси

пропускания призм Николя составляют соответственно углы 45 и 135° с осью х. Интенсивности, пропускаемые этими призмами, определяются выражениями

Здесь состояние фотона, полностью пропускаемого первой призмой, так что

где нспользовано выражение (1.2.5) с Аналогично есть состояние фотона, полностью пропускаемого второй призмой; его можно выразить через подставляя в выражение (1.2.5):

Преобразуя к базису состояний с определенной спиральностью, получаем

и аналогично

Обращая эти уравнения, можно выразить элементы через параметры Стокса:

Именно такая форма матрицы плотности будет использоваться в дальнейшем.

1.2.5.2. Примеры

Из выражения (1.2.7) следует, что любое чистое состояние поляризации можно параметризовать следующим образом:

Соответствующий оператор плотности имеет вид Вычислим параметры Стокса, характеризующие пучок в состоянии (1.2.25). Имеем

откуда следует

Аналогично можно найти

Например, чистое состояние характеризующее пучок света с вектором поляризации вдоль оси х, получается, если подставить в (1.2.25). Тогда из формул (1.2.26) получим параметры Стокса Подставляя эти значения в матрицу плотности (1.2.24), находим

Пучок, линейно-поляризованный вдоль оси у, можно определить параметрами так что

Аналогично, как показано в разд. 1.2.1, пучок, линейно-поляризованный в направлении, составляющем угол с осью х, описывается путем подстановки значения в формулы (1.2.25) и (1.2.26). Тогда параметры Стокса принимают вид а соответствующая матрица плотности

Свет с левой и правой круговой поляризацией представляется с помощью матриц плотности

Когда параметры Стокса, а следовательно, и матрица плотности определены, можно непосредственно получить полезное выражение для интенсивности света, прошедшего через фильтр, пропускающий лишь фотоны в состоянии Искомый элемент равен

Заметим, что в (1.2.29) параметры описывают пропущенный пучок, тогда как падающий пучок характеризуется параметрами Стокса.

1.2.5.3. Степень поляризации

Введем еще одно обозначение, которое окажется важным при дальнейшем изложении. Из условий (1.2.20а) и (1.2.24) следует, что параметры Стокса удовлетворяют ограничению

Знак равенства имеет место лишь в том случае, если фотоны рассматриваемого пучка находятся в чистом состоянии поляризации. Иначе говоря, пучок полностью поляризован (в смысле, объясненном в разд. 1.2.1) тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

Эти условия удобно записать, вводя величину

на которую в силу (1.2.30) наложено ограничение

Смысл соотношений (1.2.30) и (1.2.31) можно сформулировать следующим образом:

Данный пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда Если пучок находится в смешанном состоянии.

Если мы будем называть пучок поляризованным (полностью поляризованным, если если будем называть пучок неполяризованным. В последнем случае все параметры Стокса обращаются в нуль и соответствующая матрица плотности принимает вид

Поскольку при параметры Стокса обращаются в нуль в любом представлении, выражение (1.2.32) не зависит от выбора базисных состояний. Любая смесь независимо приготовленных состояний с противоположной поляризацией (например, или и одинаковой интенсивностью описывается матрицей плотности (1.2.32). Все такие смеси ведут себя одинаково в смысле своих поляризационных свойств могут быть использованы как модели неполяризованного света.

1.2.5.4. «Операциональное» определение p

В этом разделе мы обратим некоторые из полученных выше результатов следующим образом. Чтобы определить поляризационные свойства данного светового пучка, необходимо выполнить четыре независимых измерения, например для удобства определить параметры Стокса. Далее эти четыре параметра используются как исходные данные для определения матрицы плотности согласно выражению (1.2.24). Результат любого другого эксперимента, поставленного над пучком, может быть затем вычислен с помощью формул (1.2.19) или (1.2.29).

Пучок фотонов находится в чистом состоянии поляризации тогда и только тогда, когда (полностью поляризованный пучок). В этом случае состояние поляризации пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния Тогда параметры Стокса не являются независимыми, так как в силу условия (1.2.30а) трех из этих параметров достаточно для полного описания пучка [при условии нормировки (1.2.15) достаточно двух параметров].

Наконец, пучок фотонов находится в смешанном состоянии, если В частном случае пучок неполяризован и описывается матрицей плотности (1.2.32).