Оператор плотности в 
-представлении можно записать согласно (2.2.3) и (2.2.4) в форме
Подстановка (4.2.7) в (4.3.1) дает
Мультиполи состояния, или статистические тензоры, определяются следующим соотношением:
Подстановка (4.3.3) в (4.3.2) дает разложение оператора плотности по неприводимым тензорным операторам:
Умножим обе стороны (4.3.4) на 
и возьмем след, используя (4.2.24). Это дает соотношение
эквивалентное (4.3.3). Соотношение (4.3.3) можно обратить, умножив обе его части на
и просуммировав по всем значениям 
Тогда получаем
Следовательно, два описания системы — с помощью элементов матрицы плотности и с помощью мультиполей состояний 
эквивалентны. Они могут быть преобразованы друг в друга с помощью соотношений (4.3.3) и (4.3.6). Соотношения (4.3.3) — (4.3.6) очень существенны во всех задачах, где играют роль свойства углового момента, например в теории угловых корреляций, при изучении оптической
накачки и явлений спиновой поляризации. Полезность мультиполей состояния станет очевидной при рассмотрении примеров в следующих главах этой книги.
Если рассматриваемый ансамбль является некогерентной смесью 
-состояний, то матрица плотности, как показано в разд. 2.3, диагональна по 
и из (4.3.3) следует
Выражение (4.3.4) в этом случае сводится к
Этот результат показывает, что мультиполи 
описывают когерентность состояний с различным угловым моментом 
Если рассматриваемый ансамбль есть некогерентная суперпозиция состояний с различными квантовыми числами 
то матрица плотности диагональна по 
и (4.3.3) показывает, что все мультиполи с 
обращаются в нуль. Соответствующий оператор плотности в этом случае имеет вид
Следовательно, когерентность состояний с различными квантовыми числами 
характеризуется отличными от нуля мультиполями с 
характеризующийся матрицей плотности 
с элементами 
[см., например, (2.3.6)].
