4.3. Мультиполи состояния (статистические тензоры)

4.3.1. Определение мультиполей состояния

Рассмотрим ансамбль частиц в различных состояниях углового момента характеризующийся матрицей плотности с элементами [см., например, (2.3.6)].

Оператор плотности в -представлении можно записать согласно (2.2.3) и (2.2.4) в форме

Подстановка (4.2.7) в (4.3.1) дает

Мультиполи состояния, или статистические тензоры, определяются следующим соотношением:

Подстановка (4.3.3) в (4.3.2) дает разложение оператора плотности по неприводимым тензорным операторам:

Умножим обе стороны (4.3.4) на и возьмем след, используя (4.2.24). Это дает соотношение

эквивалентное (4.3.3). Соотношение (4.3.3) можно обратить, умножив обе его части на

и просуммировав по всем значениям Тогда получаем

Следовательно, два описания системы — с помощью элементов матрицы плотности и с помощью мультиполей состояний эквивалентны. Они могут быть преобразованы друг в друга с помощью соотношений (4.3.3) и (4.3.6). Соотношения (4.3.3) — (4.3.6) очень существенны во всех задачах, где играют роль свойства углового момента, например в теории угловых корреляций, при изучении оптической

накачки и явлений спиновой поляризации. Полезность мультиполей состояния станет очевидной при рассмотрении примеров в следующих главах этой книги.

Если рассматриваемый ансамбль является некогерентной смесью -состояний, то матрица плотности, как показано в разд. 2.3, диагональна по

и из (4.3.3) следует

Выражение (4.3.4) в этом случае сводится к

Этот результат показывает, что мультиполи описывают когерентность состояний с различным угловым моментом

Если рассматриваемый ансамбль есть некогерентная суперпозиция состояний с различными квантовыми числами то матрица плотности диагональна по и (4.3.3) показывает, что все мультиполи с обращаются в нуль. Соответствующий оператор плотности в этом случае имеет вид

Следовательно, когерентность состояний с различными квантовыми числами характеризуется отличными от нуля мультиполями с