Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.1.6. Алгебра матриц ПаулиВ разд. 1.1.5 было показано, что результат любого опыта, проведенного с данным пучком, можно вычислить, если известна соответствующая матрица плотности. До сих пор для этого требовалось совершить математические действия, используя конкретное представление и применяя правила мат ричной алгебры. Такая процедура, вообще говоря, громоздка и трудоемка. В этом разделе будет описан более экономный способ проведения подобных вычислений. Изложение базируется на следующем основном соотношении между матрицами Паули
где
Например, при
а при
Из формул (1.1.37) и (1.1.40) следует, что при
Соотношение (1.1.38) полностью определяет алгебру матриц Паули; его доказательство можно найти в любом учебнике квантовой механики. Важное свойство соотношения (1.1.38) состоит в том, что оно сводит квадратичные комбинации матриц Паули к линейным. Это позволяет проводить поэтапное вычисление следов от произведений матриц Паули Прежде всего, как видно из определения (1.1.6),
Беря след от обеих частей (1.1.38) и используя (1.1.41) получаем
Произведение трех матриц Паули можно сначала свести к квадратичной комбинации с помощью (1.1.38):
беря затем след этого выражения и используя (1 1.41) и (1.1.42а), находим
Еще одно важное свойство матриц Паули состоит в том, что любую двумерную эрмитову матрицу можно представить в виде линейной комбинации единичной матрицы 1 и матриц
в этом выражении неизвестны и подлежат определению четыре коэффициента независимых параметров, определяющих
Умножая (1.1.43) на
С другой стороны, след произведения
Подстановка результатов (1.1.44а) и (1.1.446) в исходное равенство (1.1.43) дает
Если матрицы Паули записаны в виде (1.1.6), то
тогда, обозначая вектор поляризации состояния
Последнее выражение допускает простое вычисление вероятности
Используя этот результат в правой части (1.1.46), находим
Последний результат можно интерпретировать следующим образом. Пучок частиц может характеризоваться матрицей плотности Вероятность того, что частица данного пучка пройдет через фильтр, определяется тогда скалярным произведением
Вывод соотношения (1.1.47) может служить первым примером того, как можно упростить вычисления, используя представление (1.1.45) и алгебраические свойства матриц Паули.
|
1 |
Оглавление
|