1.1.6. Алгебра матриц Паули

В разд. 1.1.5 было показано, что результат любого опыта, проведенного с данным пучком, можно вычислить, если известна соответствующая матрица плотности. До сих пор для этого требовалось совершить математические действия, используя конкретное представление и применяя правила мат ричной алгебры. Такая процедура, вообще говоря, громоздка и трудоемка. В этом разделе будет описан более экономный способ проведения подобных вычислений.

Изложение базируется на следующем основном соотношении между матрицами Паули

где символ Кронекера, 1 обозначает двумерную единичную матрицу и

Например, при соотношение (1.1.38) дает

а при имеем

Из формул (1.1.37) и (1.1.40) следует, что при

Соотношение (1.1.38) полностью определяет алгебру матриц Паули; его доказательство можно найти в любом учебнике квантовой механики.

Важное свойство соотношения (1.1.38) состоит в том, что оно сводит квадратичные комбинации матриц Паули к линейным. Это позволяет проводить поэтапное вычисление следов от произведений матриц Паули уменьшая на каждом этапе число матриц, входящих в данный след. Приведем несколько примеров.

Прежде всего, как видно из определения (1.1.6),

Беря след от обеих частей (1.1.38) и используя (1.1.41) получаем

Произведение трех матриц Паули можно сначала свести к квадратичной комбинации с помощью (1.1.38):

беря затем след этого выражения и используя (1 1.41) и (1.1.42а), находим

Еще одно важное свойство матриц Паули состоит в том, что любую двумерную эрмитову матрицу можно представить в виде линейной комбинации единичной матрицы 1 и матриц Рассмотрим, например, матрицу плотности. Предположим, что она имеет следующий вид:

в этом выражении неизвестны и подлежат определению четыре коэффициента Такое предположение допустимо, поскольку условие эрмитовости уменьшает число

независимых параметров, определяющих до четырех, а в выражение (1.1.43) входит как раз четыре параметра. Один из них можно найти сразу с помощью условия нормировки (1.1.25). Используя (1.1.41), имеем тогда

Умножая (1.1.43) на и вычисляя след полученного выражения с использованием равенств (1.1.41) и (1.1.42), находим

С другой стороны, след произведения дает соответствующие компоненты вектора поляризации, так что имеем

Подстановка результатов (1.1.44а) и (1.1.446) в исходное равенство (1.1.43) дает

Если матрицы Паули записаны в виде (1.1.6), то можно получить в виде (1.1.33). В случае чистого состояния оператор плотности записывается следующим образом:

тогда, обозначая вектор поляризации состояния через имеем

Последнее выражение допускает простое вычисление вероятности . В силу (1.1.31) можно записать

Используя этот результат в правой части (1.1.46), находим

Последний результат можно интерпретировать следующим образом. Пучок частиц может характеризоваться матрицей

плотности Этот пучок может проходить через фильтр Штерна — Герлаха с фиксированной ориентацией, полностью пропускающий лишь пучок в чистом состоянии (это означает, что фильтр ориентирован параллельно вектору Р(х)).

Вероятность того, что частица данного пучка пройдет через фильтр, определяется тогда скалярным произведением двух векторов поляризации. Вероятность прохождения максимальна, если вектор ориентирован в направлении пропускания фильтра (т. е. градиента магнитного поля), и минимальна в случае его антипараллельной ориентации. В частности, если пучок неполяризован, то для любого фильтра

Вывод соотношения (1.1.47) может служить первым примером того, как можно упростить вычисления, используя представление (1.1.45) и алгебраические свойства матриц Паули.