Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Общая теория матрицы плотности2.1. Чистые и смешанные квантовые состоянияВ этой главе понятия, введенные в гл. 1, будут обобщены на случай систем с более чем двумя степенями свободы. Примеры, рассмотренные в предшествующих разделах, составят физическую основу общего подхода, описанного в этой главе. Начнем с дальнейшего обсуждения чистых и смешанных состояний. В классической механике динамическое состояние системы, например системы бесструктурных частиц, полностью определено, если известны значения всех координат и импульсов частиц. Состояние системы в любой последующий момент времени может быть тогда предсказано с полной определенностью. Однако часто задаются только средние значения координат и импульсов частиц. Вследствие столь неполной информации нужно применять методы статистической механики. Мы будем рассматривать квантовомеханические системы, для которых нельзя получить максимально возможную информацию. Однако выражение «максимально возможная информация» имеет в квантовой механике более ограниченный смысл, чем в классической физике, поскольку не все физические наблюдаемые величины могут быть одновременно точно измерены. Поэтому наша первая задача состоит в уточнении смысла понятия «максимальная информация» в квантовой механике. Как известно, точное одновременное измерение двух физических величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутируют друг с другом. Точнее, если два оператора коммутирующих независимых наблюдаемых Таким образом, в общем случае максимальную информацию (в квантовомеханическом смысле), которую можно получить о системе, дают собственные значения Необходимое и достаточное условие, определяющее состояние с «максимальной информацией», состоит в существовании такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определенностью (Fano, 1957). Состояния с максимальной информацией называются чистыми состояниями. Чистые состояния представляют собой предельный допускаемый принципом неопределенности результат, получаемый с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантовомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц. Как показано в квантовой механике, вопрос о том, в каком случае набор коммутирующих операторов является полным, может быть решен только с помощью эксперимента. Полный эксперимент можно поставить так, чтобы подействовать на систему фильтром, который «приготовляет» систему в чистом состоянии. Например, для пучка свободных электронов полный набор коммутирующих операторов дается оператором импульса и Направим пучок электронов на последовательную комбинацию двух фильтров (считающихся пдсзль ными): один из них отбирает частицы, имеющие точное значение импульса Если нас интересуют только спиновые свойства пучка, зависимость состояния от всех других переменных может быть опущена (как, например, в том случае, когда рассматриваются пучки, в которых все частицы имеют одинаковый импульс). Тогда вектор состояния можно обозначать просто через Полный набор коммутирующих операторов можно выбрать не единственным образом. Например, вместо разложения чистого спинового состояния по собственным состояниям
где индекс Отдельные состояния
и составляют полную систему:
Из свойства (2.1.2а) непосредственно вытекает, что коэффициенты разложения
Выберем нормировку так, чтобы
где использована формула (2.1.2а) совместно с разложением
для сопряженного состояния Напомним, что квадраты модулей Из формулы (2.1.1) следует, что чистое состояние можно характеризовать двумя способами. Можно, например, описать его, задав все собственные значения Практически полного приготовления системы редко удается достичь, и в большинстве случаев измеряемые при этом динамические переменные не составляют полного набора. В результате состояние системы не является чистым и его нельзя представить одним вектором состояния. Такое состояние можно описать, указав, что система имеет определенные вероятности Системы, которые нельзя охарактеризовать одним вектором состояния, называются статистическими смесями. Примеры таких состояний уже приводились в гл. 1. Рассмотрим ансамбль частиц в чистом состоянии измерения были проведены над очень большим числом частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии
при условии нормировки (2.1.4). Для получения
Следует отметить, что статистика входит в (2.1.7) двумя путями: прежде всего через квантовомеханнческое среднее значение
|
1 |
Оглавление
|