2. Общая теория матрицы плотности

2.1. Чистые и смешанные квантовые состояния

В этой главе понятия, введенные в гл. 1, будут обобщены на случай систем с более чем двумя степенями свободы. Примеры, рассмотренные в предшествующих разделах, составят физическую основу общего подхода, описанного в этой главе. Начнем с дальнейшего обсуждения чистых и смешанных состояний.

В классической механике динамическое состояние системы, например системы бесструктурных частиц, полностью определено, если известны значения всех координат и импульсов частиц. Состояние системы в любой последующий момент времени может быть тогда предсказано с полной определенностью. Однако часто задаются только средние значения координат и импульсов частиц. Вследствие столь неполной информации нужно применять методы статистической механики. Мы будем рассматривать квантовомеханические системы, для которых нельзя получить максимально возможную информацию. Однако выражение «максимально возможная информация» имеет в квантовой механике более ограниченный смысл, чем в классической физике, поскольку не все физические наблюдаемые величины могут быть одновременно точно измерены. Поэтому наша первая задача состоит в уточнении смысла понятия «максимальная информация» в квантовой механике.

Как известно, точное одновременное измерение двух физических величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутируют друг с другом. Точнее, если два оператора коммутируют, то можно найти состояния, в которых имеют определенные собственные значения Аналогично если третий оператор коммутирует как с так то можно найти состояния, в которых одновременно имеют собственные значения очевидно, этот процесс можно продолжить. Таким образом, собственные значения можно использовать для описания системы со все возрастающей точностью. Наибольший набор взаимно

коммутирующих независимых наблюдаемых который можно найти для системы, дает ее наиболее полное описание. (Важным примером такого описания является классификация состояний с помощью интегралов движения.) Измерение любой другой переменной, которая соответствует оператору, не коммутирующему с набором с необходимостью вводит неопределенность по крайней мере в одну из ранее измеренных переменных. Поэтому становится невозможным дать более полное описание системы.

Таким образом, в общем случае максимальную информацию (в квантовомеханическом смысле), которую можно получить о системе, дают собственные значения полного набора коммутирующих наблюдаемых, полученных в результате измерения («полный эксперимент»). Если над системой проведен полный эксперимент, то можно с уверенностью утверждать, что состояние системы действительно точно совпадает с соответствующим собственным состоянием набора операторов сопоставляемых измеряемым собственным значениям Тогда система полностью определяется вектором состояния который ставится ей в соответствие. Если сразу вновь повторить измерение наблюдаемых в состоянии то можно быть уверенным в том, что будут получены же значения

Необходимое и достаточное условие, определяющее состояние с «максимальной информацией», состоит в существовании такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определенностью (Fano, 1957). Состояния с максимальной информацией называются чистыми состояниями.

Чистые состояния представляют собой предельный допускаемый принципом неопределенности результат, получаемый с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантовомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц.

Как показано в квантовой механике, вопрос о том, в каком случае набор коммутирующих операторов является полным, может быть решен только с помощью эксперимента.

Полный эксперимент можно поставить так, чтобы подействовать на систему фильтром, который «приготовляет» систему в чистом состоянии. Например, для пучка свободных электронов полный набор коммутирующих операторов дается оператором импульса и -компонентой оператора спина.

Направим пучок электронов на последовательную комбинацию двух фильтров (считающихся пдсзль ными): один из них отбирает частицы, имеющие точное значение импульса второй — частицы с точным значением величины Таким способом можно приготовить пучок в состоянии Это означает, что частицы пучка, пропущенные обоими фильтрами, имеют одинаковые значения Последний факт можно проверить, направляя полученный пучок на второй набор фильтров (идентичный первому): пучок должен быть пропущен полностью. Эксперимент можно повторять вновь и вновь; мы всегда обнаружим одни и те же значения и такой результат можно предсказать с полной определенностью.

Если нас интересуют только спиновые свойства пучка, зависимость состояния от всех других переменных может быть опущена (как, например, в том случае, когда рассматриваются пучки, в которых все частицы имеют одинаковый импульс). Тогда вектор состояния можно обозначать просто через как это и было сделано в гл. 1.

Полный набор коммутирующих операторов можно выбрать не единственным образом. Например, вместо разложения чистого спинового состояния по собственным состояниям оператора импульса и -проекции спина можно использовать собственные состояния оператора импульса и где оси не совпадают друг с другом. Рассмотрим два набора наблюдаемых с собственными состояниями с собственными состояниями где по крайней мере одии из операторов не коммутирует с операторами из первого: набора. Если данная система описывается вектором состояния его всегда можно записать в виде линейной комбинации всех собственных состояний операторов

где индекс нумерует различные собственные состояния. Формула (2.1.1) является математическим выражением принципа суперпозиции.

Отдельные состояния использованные в разложении (2.1.1), называются «базисными состояниями»; при этом говорят, что состояние записано в -представлении. Мы будем всегда предполагать, что базисные состояния являются ортонормироваиными:

и составляют полную систему:

Из свойства (2.1.2а) непосредственно вытекает, что коэффициенты разложения даются выражением

Выберем нормировку так, чтобы

где использована формула (2.1.2а) совместно с разложением

для сопряженного состояния

Напомним, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении система будет обнаружена в собственном состоянии.

Из формулы (2.1.1) следует, что чистое состояние можно характеризовать двумя способами. Можно, например, описать его, задав все собственные значения для полного набора операторов, но можно и задать также амплитуды определяющие состояние через собственные состояния другого набора наблюдаемых. Обычно второй способ оказывается более удобным.

Практически полного приготовления системы редко удается достичь, и в большинстве случаев измеряемые при этом динамические переменные не составляют полного набора. В результате состояние системы не является чистым и его нельзя представить одним вектором состояния. Такое состояние можно описать, указав, что система имеет определенные вероятности находиться в чистых состояниях соответственно. В случае неполного приготовления необходимо использовать статистическое описание в том же смысле, что и в классической статистической механике.

Системы, которые нельзя охарактеризовать одним вектором состояния, называются статистическими смесями.

Примеры таких состояний уже приводились в гл. 1. Рассмотрим ансамбль частиц в чистом состоянии Если это состояние не является одним из собственных состояний для наблюдаемой то измерения соответствующей физической величины дадут набор результатов, каждый из которых является собственным значением Если бы такие

измерения были проведены над очень большим числом частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии то, вообще говоря, были бы получены все возможные собственные значения Среднее от полученных результатов дается средннм значением наблюдаемой которое определяется матричным элементом

при условии нормировки (2.1.4).

Для получения в случае смеси состояний следует вычислить средние значения для каждой компоненты (чистых состояний) и затем усреднить их, суммируя по всем чистым состояниям (предварительно умножив их на соответствующий статистический вес

Следует отметить, что статистика входит в (2.1.7) двумя путями: прежде всего через квантовомеханнческое среднее значение а кроме того, через среднее по ансамблю этих значений с весами Первое усреднение связано с возмущением системы во время измерения и потому внутренне заложено в самой идее квантования. Второе усреднение вводится ввиду отсутствия информации о том, в каком именно из ряда чистых состояний может находиться система. Последний тип, усреднения очень сходен с используемым в классической статистической механике; его удобно проводить с помощью техники матрицы плотности, которую мы опишем в следующем разделе.