1.1.3. Смешанные спиновые состояния

Чистые спиновые состояния не являются наиболее общими состояниями, в которых может находиться ансамбль частиц. Пусть, например, два пучка частиц приготовлены независимо, один в чистом состоянии а другой в чистом состоянии Под словом «независимо» здесь понимается то, что между пучками отсутствует какое-либо определенное фазовое соотношение (этот пункт будет пояснен ниже). Пусть первый пучок состоит из частиц, а второй — частиц. Будем изучать состояние поляризации всего пучка, направляя его через фильтр Штерна-Герлаха при различной ориентации последнего. Тогда мы обнаружим, что невозможно найти такую ориентацию фильтра, при которой через него проходит весь пучок полностью. Отсюда следует, что объединенный пучок по определению не является чистым спиновым состоянием.

Состояния, не являющиеся чистыми, называются смешанными состояниями, или смесями.

Теперь следует рассмотреть проблему описания состояния объединенного пучка. Очевидно, это невозможно сделать с. помощью одного лишь вектора состояния так как с любым таким состоянием обязательно связано некоторое направление, вдоль которого ориентированы все спины, именно направление вектора поляризации. Тогда, ориентируя вдоль этого направления фильтр Штерна-Герлаха, мы должны были бы получить на выходе весь пучок без ослабления. Поскольку, однако, такого направления не существует, смешанное состояние (смесь) невозможно описать с помощью лишь одного вектора состояния.

В частности, смесь нельзя представить в виде линейной комбинации состояний соответствующих каждому из двух составляющих пучков. Чтобы построить такую линейную комбинацию, необходимо знать величины коэффициентов и их относительную фазу 6. При этом квадраты модулей представляют собой соответственно вероятности обнаружить частицу в состоянии рассматриваемом случае смеси эти вероятности известны: и их можно использовать для определения величин коэффициентов Однако существенный момент состоит в том, что оба пучка приготовлены независимо, так что между ними не существует определенного фазового соотношения, а без определенного значения фазы нельзя построить вектор состояния описывающий объединенный пучок.

Смесь следует описывать, точно указывая способ ее приготовления. Например, в случае рассматриваемого пучка известно, что частиц приготовлены в состоянии частиц — в состоянии совершенно независимо друг от друга. Это утверждение содержит всю имеющуюся информацию о смеси.

Продолжим рассмотрение нашего примера и вычислим вектор поляризации, описывающий объединенный пучок. Вектор можно получить, беря статистическое среднее по обоим составляющим пучкам:

Нетрудно установить, что

Следует заметить, что длина вектора поляризации меньше единицы, причем она пропорциональна разности заселенности двух состояний

В более общем случае, когда пучок приготовлен путем смешивания частиц в состоянии частиц в

состоянии компоненты вектора поляризации определяются путем статистического усреднения по независимо приготовленным пучкам:

Здесь компоненты векторов поляризации, соответствующих каждому из пучков [см. соотношение (1.1.5)]. Соотношение (1.1.14) можно переписать в векторном виде:

Поскольку длина вектора определяется соотношением

Здесь учтено, что скалярное произведение рскрсо двух различных единичных векторов всегда меньше единицы.

Равенство в (1.1.15) имеет место лишь при т. е. когда оба пучка имеют одинаковые векторы поляризации. В этом случае оба составляющих пучка находятся в одинаковых спиновых состояниях [описываемых выражениями (1.1.9) и (1.1.10)], так что и объединенный пучок находится в чистом спиновом состоянии. Напротив, если два пучка смешиваются в тождественных спиновых состояниях, то результирующий пучок состоит из частиц, находящихся в тождественных спиновых состояниях, и потому характеризуется вектором поляризации единичной длины. Проведенные выше рассуждения можно без труда обобщить на случай смесей, состоящих более чем из двух пучков.

Итак, получен следующий результат: длина вектора поляризации ограничена условием

Максимально возможное значение достигается тогда (и только тогда), когда рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии. Смеси всегда характеризуются вектором поляризации, длина которого меньше единицы.

Полученный результат вновь подтверждает основное свойство чистого спинового состояния: все частицы находятся в тождественных состояниях, причем все спины ориентированы

в одном и том же направлении, а именно в направлении вектора поляризации

В дальнейшем мы будем называть состояния с поляризованными, а состояния с неполяризованными. Чистые состояния с будут называться полностью поляризованными.