2.5. Спиновая прецессия в магнитном поле

В качестве примера использования формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим теперь прецессию частиц со спином 1/2 в статическом магнитном поле. Компоненты магнитного момента частиц со спином 1/2 даются выражениями

где у — гиромагнитное отношение, обозначают матрицы Паули. Взаимодействие между частицами, обладающими магнитным моментом и внешним магнитным полем описывается гамильтонианом

Вектор поляризации изменяется во времен», и матрица плотности частиц зависит от времени. Скорость изменения вектора поляризации определяется уравнениями (2.2.9), (2.4.16) и (2.5.2):

где использовано свойство независимости следа произведения от циклических перестановок операторов-сомножителей.

Подставляя выражение (1.1.45) для в уравнение (2.5.3а), Получаем!

Применяя соотношение (1.1.42а), имеем

а соотношение (1.1.426) дает

в силу антисимметрии тензора [см. (1.1.39)]. Подставляя эти результаты в уравнение (2.5.3), находим

Например, для компоненты имеем из (1.1.39) и (2.5.4)

здесь индекс х обозначает компоненту вдоль оси х векторного произведения и поля В векторных обозначениях уравнение (2.5.4а) можно записать так:

Заметим, что уравнение (2.5.5) совпадает с классическим уравнением движения для прецессии вектора относительно направления поля.

Вывод уравнения (2.5.5) служит хорошим примером использования уравнений (2.2.9) и (2.4.16) при выводе уравнений движения. Он также иллюстрирует значительное упрощение, которое достигается при использовании в процессе вычисления компактного выражения (1.1.45) для матрицы плотности и свойств матриц Паули (1.1.38). Уравнение (2.5.5) можно вывести и не применяя метод матрицы плотности, но вычисления становятся при этом гораздо более громоздкими.