4.3.2. Основные свойства мультиполей состояния
Для рассматриваемого здесь случая свойство эрмитовости
означает, что
Выполнив комплексное сопряжение в (4.3.3) и учитывая (4.3.9), получим
Для определенного значения момента
соотношение (4.3.10) связывает друг с другом мультиполи с компонентами
В частности, из (4.3.11) следует, что мультиполи
представляют собой действительные числа.
Часто используется другая система параметров:
(в нее входит оператор
вместо сопряженного ему оператора). Подставляя (4.2.23) в (4.3.12а) и используя определение (4.3.5), получаем
Теперь, учитывая (4.3.10), легко видеть, что две параметризации связаны друг с другом соотношением
Чтобы понять важность мультиполей (4.3.3), рассмотрим, как они преобразуются при поворотах. Совокупность мультиполей
с соответствующими квантовыми числами
в (4.3.3) можно определить относительно осей
Вторую совокупность мультиполей
можно определить относительно координатной системы
показанной на рис. 4.1. Используя (4.3.12а) и (4.2.13), получаем
Затем, снова используя определение (4.3.12а) и соотношение
находим окончательно
Этот результат показывает, что мультиполи состояния преобразуются как
-компоненты неприводимых тензоров ранга К.