4.3.2. Основные свойства мультиполей состояния

Для рассматриваемого здесь случая свойство эрмитовости означает, что

Выполнив комплексное сопряжение в (4.3.3) и учитывая (4.3.9), получим

Для определенного значения момента соотношение (4.3.10) связывает друг с другом мультиполи с компонентами

В частности, из (4.3.11) следует, что мультиполи представляют собой действительные числа.

Часто используется другая система параметров:

(в нее входит оператор вместо сопряженного ему оператора). Подставляя (4.2.23) в (4.3.12а) и используя определение (4.3.5), получаем

Теперь, учитывая (4.3.10), легко видеть, что две параметризации связаны друг с другом соотношением

Чтобы понять важность мультиполей (4.3.3), рассмотрим, как они преобразуются при поворотах. Совокупность мультиполей с соответствующими квантовыми числами в (4.3.3) можно определить относительно осей Вторую совокупность мультиполей можно определить относительно координатной системы показанной на рис. 4.1. Используя (4.3.12а) и (4.2.13), получаем

Затем, снова используя определение (4.3.12а) и соотношение находим окончательно

Этот результат показывает, что мультиполи состояния преобразуются как -компоненты неприводимых тензоров ранга К.