4.7.2. Коэффициенты возмущений для взаимодействий, обусловливающих тонкую и сверхтонкую структуру

Чтобы выяснить смысл понятий, введенных в предыдущем разделе, рассмотрим изменение во времени атомных состояний, возбужденных в момент за счет взаимодействия, обусловливающего тонкую структуру. Мы не будем конкретизировать механизм возбуждения. Основные предположения, которые будут сделаны, заключаются в том, что в процессе возбуждения орбитальные и спиновые моменты атомов не связаны и что сразу после возбуждения атомные спины неполяризованы. При этом для атомных состояний сразу после возбуждения можно использовать несвязанное представление причем спиновые состояния заселены одинаково. Мы будем также предполагать, что значения фиксированы.

Сделанные предположения справедливы, например, при возбуждении легких атомов электронным ударом, рассмотренном в разд. 3.5. Предполагается, это они справедливы и для атомов, возбуждающихся при прохождении пучка через фольгу.

Сразу после возбуждения атомный ансамбль можно представить матрицей плотности с элементами Далее нас будут интересовать только свойства орбитальных состояний, поэтому определим

приведенную матрицу плотности с элементами

Например, для случая возбуждения электронным ударом элементы (4.7.7) связаны соотношением (3.5.7) с амплитудами рассеяния.

Приведенную матрицу плотности можно разложить по мультиполям состояния согласно (4.6.1):

где тензоры характеризуют орбитальные состояния при т. е. сразу же после возбуждения.

Состояния можно считать собственными состояниями гамильтониана После возбуждения атомы релакснруют в соответствии с моделью -связи под влиянием взаимодействия которое возмущает возбужденные состояния и приводит к тонкой структуре. Если воспользоваться векторной моделью, то это возмущение можно интерпретировать как прецессию векторов вокруг полного углового момента (такая прецессия во время процесса возбуждения не учитывалась). Взаимодействие, приводящее к тонкой структуре, предполагается слабым, поэтому переходами между состояниями с различными можно пренебречь и считать сохраняющимися величинами.

Изменение во времени атомного состояния определяется оператором

где полный гамильтониан включает член взаимодействия связывающий спиновую и орбитальную систему. Так как действует на обе системы, необходимо рассматривать полную матрицу плотности вместо приведенной матрицы (4.7.8), описывающей только орбитальные состояния. Так как орбитальные и спиновые состояния некоррелированы при а спины неполярнзоваиы, удобно записать в виде

где использованы соотношения (2.2.14) и и 1 есть единичный оператор в спиновом пространстве. Подстановка (4.7.8) в (4.7.9а) дает

В момент времени система описывается матрицей плотности, которая эволюционирует от матрицы и удовлетворяет условию (2.4.15):

Определим мультиполи состояния описывающие орбитальные состояния в момент времени как неприводимые компоненты соответствующей приведенной матрицы плотности

где элементы матрицы определяются выражением

Для настоящего рассмотрения удобнее другое определение мультипольных компонент:

где - единичный оператор в спиновом пространстве. Эквивалентность определений (4.7.11а) и (4.7.116) можно показать, вычислив след (4.7.11) с использованием несвязанных состояний (см. приложение А). Подстановка (4.7.10) в (4.7.116) дает

где коэффициенты возмущения представляют собой коэффициенты этого нового мультипольного разложения:

Выведем теперь явное выражение для величин (4.7.13). Так как элементы оператора диагональны в представлении собственных состояний полного гамильтониана Я, в матричном представлении элементы имеют вид

где энергия уровня Используя (4.7.14), можно вычислить след в (4.7.13) в этом представлении:

Оставшиеся матричные элементы можно вычислить, если учесть, что представляет собой -компоненту тензорного оператора ранга К. Применяя теорему Вигнера — Эккарта

и стандартную формулу теории углового момента [см. находим

Здесь использовано явное выражение (4.2.28) для приведенного матричного элемента Подобная формула справедлива для матричного элемента оператора Подставляя полученные выражения в (4.7.15а) и выполняя суммирование по с помощью соотношений ортогональности для -символов, получаем

Символы Кронекера указывают, что мультиполи различных рангов и различные компоненты не перемешиваются за счет взаимодействия. Более того, коэффициенты (4.7.15) не зависят от и потому могут быть записаны в форме

Коэффициенты (4.7.15) действительны. Это легко увидеть, если взять выражение, комплексно-сопряженное выражению

в квадратных скобках в (4.7.15), поменять местами и У и использовать свойство симметрии -символа. Следовательно, мнимая часть комплексной экспоненциальной функции в (4.7.15) обращается в нуль в результате суммирования по всем значениям и остается только действительная часть:

Из (4.7.12) и (4.7.16) получаем окончательное выражение

которое описывает временную эволюцию мультиполей состояния за счет взаимодействия, вызывающего тонкую структуру.

Иногда оказывается удобным представить коэффициенты в форме

где выделены члены с и часть, не зависящая от времени, определяется выражением

Взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре, можно рассмотреть тем же методом, который был использован для описания тонкого взаимодействия. Пусть при возбуждены атомные состояния с электронным моментом причем ядерный спин не затронут. Построив мультиполи состояния из состояний в момент времени соответственно, можно показать, что эти тензоры связаны соотношением, подобным (4.6.18):

где коэффициенты возмущения определяются

выражением (4.7.17) с заменой на означает полный угловой момент:

Наконец, рассмотрим случай, когда должны быть учтены как тонкие, так и сверхтонкие взаимодействия. Поскольку сверхтонкое взаимодействие намного слабее тонкого взаимодействия, угловой момент электронов остается хорошим квантовым числом и соответствующие коэффициенты можно вычислить аналогичным образом. В результате получаем

При выводе выражения (4.7.22) снова предполагалось, что и I не меняются в процессе возбуждения и распада. Энергии и постоянные распада относятся к состояниям с угловыми моментами

Если тонкое и сверхтонкое расщепление сравнимы, требуются более сложные вычисления, так как в этом случае не является подходящим квантовым числом. Более подробно такой случай рассмотрен, например, в работе Фано и Масека (Fano, Maсек, 1973).