4.2.3. Примеры

В данном разделе мы рассмотрим случай, когда угловой момент имеет определенное значение и обозначим соответствующие тензорные операторы через Прежде всего покажем, что оператор ранга есть скалярный оператор, т. е. остается инвариантным при любых поворотах. Это можно сделать, доказав, что оператор пропорционален -мерной единичной матрице 1. Из определения (4.2.8) и соотношения получаем

где было использовано соотношение полноты

Тензорные операторы ранга называются векторными операторами. Три векторных компоненты связаны с компонентами вектора углового момента относительно фиксированной системы следующим образом. Введем сферические векторные компоненты

тогда и величину для определенного можно представить -мерной диагональной матрицей с элементами

Как следует из (4.2.9), представляется матрицей

Аналогично, используя стандартный результат теории углового момента

получаем матричное представление для других компонент

С другой стороны, из (4.2.9) имеем

Сопоставляя (4.2.16а) и (4.2.17а) соответственно с (4.2.166) и (4.2.176), получаем операторное соотношение

Таким образом, векторные операторы пропорциональны сферическим компонентам оператора углового момента.

Подобным образом тензор второго ранга можно связать с квадратичными комбинациями компонент вектора углового момента. Сферические компоненты тензора второго ранга связаны с декартовыми компонентами следующими соотношениями (приводятся без доказательства):

Нужно отметить, что соотношения (4.2.18) и (4.2.19) справедливы только в случае определенного значения момента Матричные элементы операторов по состояниям при обращаются в нуль, в то время как элементы оператора вообще говоря, отличны от нуля при Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе.