2.6. Системы в тепловом равновесии

Очень большое значение имеет применение матрицы плотности к динамической системе, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой. В квантовой статистической

механике показано, что состояние системы при температуре можно представить оператором плотности

где постоянная Больдмана. Наличие в (2.6.1) статистической суммы

обеспечивает выполнение условия нормировки

Выражение вида (2.6.1) имеет место для канонического ансамбля, т. е. для системы с постоянным объемом, постоянным числом частиц и данным средним значением гамильтониана (средней энергией).

Оператор плотности (2.6.1) играет ту же роль в квантовой статистике, какую каноническая функция распределения играет в классической статистической механике. Эту эквивалентность можно показать, рассматривая энергетическое представление в котором элементы матрицы плотности даются выражениями

Диагональные элементы дают вероятность нахождения системы в состоянии с энергией Поэтому система в тепловом равновесии описывается некогерентной суммой собственных состояний оператора энергии со статистическими весами, пропорциональными больцмановскому множителю

Среднее значение оператора действующего на систему, дается выражением

которое вытекает из (2.2.9).

Выражения (2.6.1) и (2.6.4) будут использованы в гл. 7. Здесь мы проиллюстрируем их на простом примере. Рассмотрим систему частиц со спином 1/2, на которую действует статическое магнитное поле в направлении Гамильтониан такой системы дается выражением (2.5.2):

Макроскопическая намагниченность системы определяется следующим образом:

где число частиц в единице объема. В условиях теплового равновесия матрица плотности диагональна и

заполнение магнитных подсостояний соответствует распределению Больцмана (2.6.4). Отсюда ясно, что и

Пусть температура достаточно высока, чтобы было применимо разложение используя равенства получаем

Из определения (2.6.2) имеем в высокотемпературном пределе

Окончательно получаем

что представляет собой закон Кюри для намагниченности частиц со спином