2.6. Системы в тепловом равновесии
Очень большое значение имеет применение матрицы плотности к динамической системе, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой. В квантовой статистической
механике показано, что состояние системы при температуре
можно представить оператором плотности
где
постоянная Больдмана. Наличие в (2.6.1) статистической суммы
обеспечивает выполнение условия нормировки
Выражение вида (2.6.1) имеет место для канонического ансамбля, т. е. для системы с постоянным объемом, постоянным числом частиц и данным средним значением
гамильтониана (средней энергией).
Оператор плотности (2.6.1) играет ту же роль в квантовой статистике, какую каноническая функция распределения играет в классической статистической механике. Эту эквивалентность можно показать, рассматривая энергетическое представление
в котором элементы матрицы плотности даются выражениями
Диагональные элементы
дают вероятность нахождения системы в состоянии с энергией
Поэтому система в тепловом равновесии описывается некогерентной суммой собственных состояний
оператора энергии со статистическими весами, пропорциональными больцмановскому множителю
Среднее значение
оператора
действующего на систему, дается выражением
которое вытекает из (2.2.9).
Выражения (2.6.1) и (2.6.4) будут использованы в гл. 7. Здесь мы проиллюстрируем их на простом примере. Рассмотрим систему частиц со спином 1/2, на которую действует статическое магнитное поле
в направлении
Гамильтониан такой системы дается выражением (2.5.2):
Макроскопическая намагниченность
системы определяется следующим образом:
где
число частиц в единице объема. В условиях теплового равновесия матрица плотности диагональна и
заполнение магнитных подсостояний соответствует распределению Больцмана (2.6.4). Отсюда ясно, что
и
Пусть температура достаточно высока, чтобы было применимо разложение
используя равенства
получаем
Из определения (2.6.2) имеем в высокотемпературном пределе
Окончательно получаем
что представляет собой закон Кюри для намагниченности частиц со спином