1.1.2. Вектор поляризации

Для более детального описания чистых спиновых состояний введем так называемый вектор поляризации компоненты которого определяются как средние значения соответствующих матриц Паули:

. В случае чистых спиновых состояний эти средние значения определяются соотношениями

В представлении (1.1.1) матрицы Паули имеют вид

Средние значения (1.1.5) можно вычислить с помощью определений (1.1.2а), (1.1.26) и (1.1.6), рассматривая векторы-столбцы и векторы-строки как одномерные матрицы и применяя правила умножения матриц. Приведем несколько

примеров с целью продемонстрировать важность понятия вектора поляризации.

Пучок частиц находящихся в чистом состоянии обладает вектором поляризации с компонентами

Аналогично для ансамбля частиц, находящихся в чистом состоянии вектор поляризации имеет компоненты

Таким образом, состояния характеризуются векторами поляризации единичной длины, направленными соответственно вдоль оси Поэтому состояния можно назвать состояниями с противоположной поляризацией.

Рассмотрим теперь чистое состояние общего вида (1.1.2). Прежде всего удобно параметризовать коэффициенты и , которые являются комплексными числами и определяются четырьмя действительными числами, характеризующими величины и фазы. Полная фаза состояния (1.1.2) не имеет физического смысла и может быть выбрана произвольно; например, можно потребовать, чтобы коэффициент был действительным. Из этого требования совместно с условием нормировки (1.1.3) следует, что чистое спнновое состояние общего вида (1.1.2) полностью определяется заданием двух действительных чисел. В качестве таких чисел удобно ввести параметры определив их равенствами

здесь относительная фаза коэффициентов Используя (1.1.8), запишем (1.1.2а) в виде

Для выяснения физического смысла параметров рассмотрим вектор поляризации, соответствующий состоянию

(1.1.9). Тогда получим

Вектор поляризации (1.1.10) имеет единичную длину:

Из выражений (1.1.10) следует, что параметры можно рассматривать как полярные углы, определяющие направление причем 9 представляет собой угол между вектором и осью z, а относительная фаза -азимутальный угол вектора (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Направление вектора

Можно ввести новую систему координат х, у, z так, чтобы ось z была параллельна вектору Выбирая ось z в качестве оси квантования, получим в новой системе координат т. е. все частицы обладают «спином вверх» относительно оси Это означает, что направление вектора поляризации совпадает с тем, «вдоль которого ориентированы спины». Если направить пучок через фильтр Штерна-Герлаха, расположенный параллельно вектору то весь пучок пройдет через фильтр полностью.

Выражения (1.1.9) и (1.1.10) позволяют построить в явном виде спиновые функции для любого чистого состояния. Пусть, например, данный пучок частиц находится в чистом состоянии, при котором спины ориентированы вдоль оси х исходной системы координат. Тогда соответствующий вектор поляризации также направлен вдоль оси следовательно, имеет полярные углы При этом, как видно из

(1.1.9), вектор состояния имеет вид

Пучок частиц со «спином вниз» по отношению к оси х имеет вектор поляризации, направленный вдоль характеризуется полярными углами Соответствующий вектор состояния имеет вид

Аналогично векторы состояний пучка частиц со «спином вверх (вниз)» относительно оси у будут представлены соответственно векторами-столбцами

Следует заметить, что четыре состояния (1.1.12) строятся как суперпозиции состояний с одинаковыми по величине коэффициентами но с различными относительными фазами. Соответствующие векторы поляризации имеют одинаковые углы , но различные азимутальные углы в зависимости от того, какова относительная фаза (сдвиг фаз) между состояниями