68. Теорема Фубини.
Для полного доказательства теоремы Фубини нам понадобится еще одна простая лемма.
Лемма 6. Теорема Фубини справедлива для измеримой функции
принимающей в
конечное число конечных значений.
Пусть
если точка
принадлежит множеству причем
Мы можем представить
в виде линейной комбинации характеристических функций множества
и справедливость теоремы Фубини для
непосредственно вытекает из лемм 1 и 5.
На основе последней леммы теорема Фубини доказывается весьма просто. Пусть
суммируема на А. Разобьем ее на положительную и отрицательную части
. В силу леммы 1, достаточно доказать теорему для
т. е. при доказательстве мы можем считать, что суммируемая функция
неотрицательна. Как мы знаем [46], такую функцию можно представить как предельную функцию для неубывающей последовательности измеримых, неотрицательных функций
с конечным числом значений. Согласно лемме 6, теорема Фубини справедлива для функций
а тогда, в силу леммы 2, она справедлива и для функции
и тем самым теорема Фубини доказана.
Отметим, что в теореме Фубини функция
предполагается симмируемой на промежутке А. При этом условии, согласно теореме Фубини, квадратуры, стоящие в правых частях формул (144) и (145), имеют смысл и дают двойной интеграл от
по
. Обратное заключение о существовании двойного интеграла, если имеют смысл квадратуры, стоящие в правой части, может оказаться неправильным. Существуют примеры, когда повторные интегралы, стоящие в правых частях формул (144) и (145), имеют смысл, и результаты равны между собой, а функция
неизмерима на А или измерима, но не суммируема. Но если
неотрицательна на промежутке А, то обратное заключение справедливо, и имеет место следующая теорема.
Теорема. Если
измерима и неотрицательна на промежутке А, то из существования повторного интеграла, стоящего в правой части (144), следует, что функция
суммируема на А, и тем самым для нее справедлива теорема Фубини.
Положим, что имеет смысл повторный интеграл, стоящий в правой части (144), т. е. почти везде по отношению к
на промежутке
существует функция (143), суммируемая на промежутке
. Введем функции
Они ограничены, измеримы и образуют неубывающую последовательность, коюрая стремится к
Они, очевидно, суммируемы
на А, и для них справедлива теорема Фубини. Мы можем написать
но
и, следовательно,
откуда следует
, что
суммируема на А.
Следствие
. Если
меняет знак, но для
мы имеем существование правой части (144), то по теореме
суммируема, а поэтому и
суммируема на А, и к ней применима теорема Фубини.
Следствие 2. Если
измерима на А и суммируема по у для почти всех значений
то
определяемая формулой (143), есть измеримая функция. Мы, как всегда, можем считать
неотрицательной. Для урезанной функции
(она ограничена) мы имеем теорему Фубини, и
измерима. Устремляя
к бесконечности, видим, что и предельная функция
измерима.
Отметим некоторые простые обобщения формулировки теоремы Фубини. Если
суммируема на измеримом ограниченном множестве
, то имеет место формула
где
множество точек
, имеющих заданную абсциссу
аналогичное множество для у, а
— проекции
на оси X и Y. Интегралы по
и
, могут не иметь смысла для значений х и у, образующих множество меры нуль. Для доказательства формулы (154) достаточно покрыть
конечным промежутком А и построить функцию
равную
в точках
и нулю во всех точках А, не принадлежащих
. Покажем теперь, как распространить теорему Фубини на случай неограниченных множеств. В качестве примера рассмотрим всю плоскость. Достаточно рассмотреть неотрицательные функции. Итак, положим, что функция
измерима,
неотрицательна и суммируема на плоскости, т. е. существует двойной интеграл:
Функция
будет суммируемой и на любом конечном промежутке
На таком промежутке мы будем иметь теорему Фубини, т. е.
С другой стороны, в силу неотрицательности функции
имеем:
и, следовательно,
Беспредельно увеличивая n и применяя теорему 4 из [54], получим
Увеличивая затем m и пользуясь определением интеграла по бесконечной прямой, мы приходим к неравенству
Покажем, наконец, что знак в этом неравенстве не может иметь места. Если он имеет место, то существует такое положительное а, что
и тем более
что нелепо, так как интеграл по промежутку
должен стремиться к интегралу (155) при беспредельном возрастании
. Таким образом, в формуле (156) должны иметь
и, сравнивая с (155), мы и получаем для всей плоскости ту формулу, которая входит в теорему Фубини. Из проведенного доказательства следует, очевидно, и существование повторного интеграла, входящего в эту формулу.
Теорема Фубини может быть формулирована и для интегралов любой кратности. Формулируем соответствующий результат. Пусть
есть промежуток в пространстве
, имеющем
измерений, определяемый неравенствами:
а
промежутки в пространствах
определяемые неравенствами:
Пусть далее
- функция, суммируемая на промежутке
. Если мы фиксируем некоторую точку
из
то функция
будет суммируемой функцией в
при любом выборе
кроме, может быть, множества точек
имеющего меру нуль в
. Полученный интеграл от
по
даст суммируемую функцию в
и имеет место формула
Теорема Фубини допускает еще простое обобщение на случай интегралов Лебега-Стилтьеса. Положим, что мы имеем две возрастающие и ограниченные функции
и
. Пользуясь этими функциями, мы можем определить меру
полуоткрытых промежутков и затем распространить указанные функции на замкнутые тела
Таким образом, мы получим аддитивные неотрицательные и нормальные функции
на
. Совершенно так же, исходя от функции
определенной на плоскости, мы можем построить аддитивную, неотрицательную и нормальную функцию
на некотором замкнутом теле
множеств на плоскости. Если
измерима относительно
и суммируема на некотором промежутке А плоскости, то эта функция
суммируема по у на промежутке
оси
, соответствующем промежутку Д плоскости, по отношению к функции
если исключить из промежутка
оси X, соответствующего промежутку
плоскости, некоторое множество значений, имеющее меру нуль по отношению к
. Функция
суммируема на
по отношению к
, и имеет место формула
Переставляя порядок интегрирования, получим аналогичную вторую формулу. Доказательство этого обобщения теоремы Фубини проводится буквально так же, как и доказательство основной теоремы Фубини, но только везде интеграл Лебега надо заменить интегралами Лебега-Стилтьеса и измеримость в смысле Лебега надо заменить измеримостью по отношению к функциям
Замечание. Отметим, что если относительно функции
дано лишь то, что она измерима на промежутке
плоскости, то отсюда следует, что для почти всех значений
из [а b] она измерима по у на
и для почти всех значений у из
она измерима по
на
Это замечание непосредственно следует из замечания, которое мы приводили после доказательств лемм 1 и 2, и всего дальнейшего доказательства теоремы Фубини.