68. Теорема Фубини.

Для полного доказательства теоремы Фубини нам понадобится еще одна простая лемма.

Лемма 6. Теорема Фубини справедлива для измеримой функции принимающей в конечное число конечных значений.

Пусть если точка принадлежит множеству причем Мы можем представить в виде линейной комбинации характеристических функций множества

и справедливость теоремы Фубини для непосредственно вытекает из лемм 1 и 5.

На основе последней леммы теорема Фубини доказывается весьма просто. Пусть суммируема на А. Разобьем ее на положительную и отрицательную части . В силу леммы 1, достаточно доказать теорему для т. е. при доказательстве мы можем считать, что суммируемая функция неотрицательна. Как мы знаем [46], такую функцию можно представить как предельную функцию для неубывающей последовательности измеримых, неотрицательных функций с конечным числом значений. Согласно лемме 6, теорема Фубини справедлива для функций а тогда, в силу леммы 2, она справедлива и для функции и тем самым теорема Фубини доказана.

Отметим, что в теореме Фубини функция предполагается симмируемой на промежутке А. При этом условии, согласно теореме Фубини, квадратуры, стоящие в правых частях формул (144) и (145), имеют смысл и дают двойной интеграл от по . Обратное заключение о существовании двойного интеграла, если имеют смысл квадратуры, стоящие в правой части, может оказаться неправильным. Существуют примеры, когда повторные интегралы, стоящие в правых частях формул (144) и (145), имеют смысл, и результаты равны между собой, а функция неизмерима на А или измерима, но не суммируема. Но если неотрицательна на промежутке А, то обратное заключение справедливо, и имеет место следующая теорема.

Теорема. Если измерима и неотрицательна на промежутке А, то из существования повторного интеграла, стоящего в правой части (144), следует, что функция суммируема на А, и тем самым для нее справедлива теорема Фубини.

Положим, что имеет смысл повторный интеграл, стоящий в правой части (144), т. е. почти везде по отношению к на промежутке существует функция (143), суммируемая на промежутке . Введем функции

Они ограничены, измеримы и образуют неубывающую последовательность, коюрая стремится к Они, очевидно, суммируемы

на А, и для них справедлива теорема Фубини. Мы можем написать

но и, следовательно,

откуда следует , что суммируема на А.

Следствие . Если меняет знак, но для мы имеем существование правой части (144), то по теореме суммируема, а поэтому и суммируема на А, и к ней применима теорема Фубини.

Следствие 2. Если измерима на А и суммируема по у для почти всех значений то определяемая формулой (143), есть измеримая функция. Мы, как всегда, можем считать неотрицательной. Для урезанной функции (она ограничена) мы имеем теорему Фубини, и

измерима. Устремляя к бесконечности, видим, что и предельная функция измерима.

Отметим некоторые простые обобщения формулировки теоремы Фубини. Если суммируема на измеримом ограниченном множестве , то имеет место формула

где множество точек , имеющих заданную абсциссу аналогичное множество для у, а — проекции на оси X и Y. Интегралы по и , могут не иметь смысла для значений х и у, образующих множество меры нуль. Для доказательства формулы (154) достаточно покрыть конечным промежутком А и построить функцию равную в точках и нулю во всех точках А, не принадлежащих . Покажем теперь, как распространить теорему Фубини на случай неограниченных множеств. В качестве примера рассмотрим всю плоскость. Достаточно рассмотреть неотрицательные функции. Итак, положим, что функция измерима,

неотрицательна и суммируема на плоскости, т. е. существует двойной интеграл:

Функция будет суммируемой и на любом конечном промежутке На таком промежутке мы будем иметь теорему Фубини, т. е.

С другой стороны, в силу неотрицательности функции имеем:

и, следовательно,

Беспредельно увеличивая n и применяя теорему 4 из [54], получим

Увеличивая затем m и пользуясь определением интеграла по бесконечной прямой, мы приходим к неравенству

Покажем, наконец, что знак в этом неравенстве не может иметь места. Если он имеет место, то существует такое положительное а, что

и тем более

что нелепо, так как интеграл по промежутку должен стремиться к интегралу (155) при беспредельном возрастании . Таким образом, в формуле (156) должны иметь и, сравнивая с (155), мы и получаем для всей плоскости ту формулу, которая входит в теорему Фубини. Из проведенного доказательства следует, очевидно, и существование повторного интеграла, входящего в эту формулу.

Теорема Фубини может быть формулирована и для интегралов любой кратности. Формулируем соответствующий результат. Пусть есть промежуток в пространстве , имеющем измерений, определяемый неравенствами:

а промежутки в пространствах определяемые неравенствами:

Пусть далее - функция, суммируемая на промежутке . Если мы фиксируем некоторую точку из то функция будет суммируемой функцией в при любом выборе кроме, может быть, множества точек имеющего меру нуль в . Полученный интеграл от по

даст суммируемую функцию в и имеет место формула

Теорема Фубини допускает еще простое обобщение на случай интегралов Лебега-Стилтьеса. Положим, что мы имеем две возрастающие и ограниченные функции и . Пользуясь этими функциями, мы можем определить меру полуоткрытых промежутков и затем распространить указанные функции на замкнутые тела Таким образом, мы получим аддитивные неотрицательные и нормальные функции на . Совершенно так же, исходя от функции определенной на плоскости, мы можем построить аддитивную, неотрицательную и нормальную функцию на некотором замкнутом теле множеств на плоскости. Если измерима относительно и суммируема на некотором промежутке А плоскости, то эта функция

суммируема по у на промежутке оси , соответствующем промежутку Д плоскости, по отношению к функции

если исключить из промежутка оси X, соответствующего промежутку плоскости, некоторое множество значений, имеющее меру нуль по отношению к . Функция суммируема на по отношению к , и имеет место формула

Переставляя порядок интегрирования, получим аналогичную вторую формулу. Доказательство этого обобщения теоремы Фубини проводится буквально так же, как и доказательство основной теоремы Фубини, но только везде интеграл Лебега надо заменить интегралами Лебега-Стилтьеса и измеримость в смысле Лебега надо заменить измеримостью по отношению к функциям

Замечание. Отметим, что если относительно функции дано лишь то, что она измерима на промежутке плоскости, то отсюда следует, что для почти всех значений из [а b] она измерима по у на и для почти всех значений у из она измерима по на Это замечание непосредственно следует из замечания, которое мы приводили после доказательств лемм 1 и 2, и всего дальнейшего доказательства теоремы Фубини.