3.2. Цикл Карно

Основатель термодинамики Сади Карно установил второе начало, изучая проблему возможного повышения коэффициента полезного действия тепловых машин.

По Карно, наибольший коэффициент полезного действия тепловой машины не зависит от природы рабочего тела и вполне определяется предельными температурами, между которыми машина работает (это в нашем обзоре - седьмая формулировка второго начала).

Приведенное утверждение можно рассматривать как следствие невозможности перпетуум-мобиле второго рода. Схема рассуждений такова. Вначале берем в качестве рабочего тела идеальный газ. Пользуясь уравнениями Клапейрона — Менделеева и Пуассона, подсчитываем коэффициент полезного действия тепловой машины, в которой идеальный газ в качестве рабочего тела совершает обратимый цикл, ограниченный двумя адиабатами и двмя изотермами (цикл Карно, рис. 7). Подсчет показывает, что коэффициент полезного действия равен разности температур теплоисточника и холодильника, деленной на абсолютную температуру теплоисточника. Выполним этот подсчет. Идеальный газ, содержащийся в цилиндре машины, расширяясь, выталкивает поршень и производит работу. При этом в первой

Рис. 7. Цикл Карно

изотермической стади расширения (рис. 7, кривая 1—2) теплоисточник отдает, а идеальный газ получает теплоту равную работе расширения газа. Действительно, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры; следовательно, поскольку температура неизменна, то и внутренняя энергия газа неизменна и, стало быть, по первому началу термодинамики теплота, изотермически сообщаемая газу, равна работе, которую производит газ; из уравнений если то

Допустим в цилиндре содержится молей газа. По уравнению Клапейрона-Менделеева (1.7)

Расширяясь изотермически при температуре теплоисточника от объёма до объема газ произведет работу, равную теплоте которую газ забирает у теплоисточника:

Во второй адиабатной стадии расширения (рис. 7, кривая работа производится за счет убыли внутренней энергии газа, т. е. за счет падения температуры газа от уровня теплоисточника до уровня холодильника При этом газ не получает и не отдает тепла. Затем идеальный газ сжимается изотермически от объема до объема определяемого пересечением изотермы холодильника с начальной адиабатой. На это сжатие газа (рис. 7, кривая должна быть затрачена работа, которая вследствие изотермичности процесса окажется целиком превращенной в теплоту отдаваемую газом холодильнику:

Цикл завершается адиабатной стадией сжатия газа до исходного объема когда затрачиваемая работа идет на повышение температуры газа до первоначального значения, т. е. до уровня теплоисточника; при этом газ не получает и не отдает тепла.

За цикл газ получает теплоту Q и отдает теплоту Поскольку к концу цикла газ возвращен к своему исходному состоянию, то, стало быть, разность тепл от превращена в работу А, произведенную газом как рабочим телом за один цикл. По определению, коэффициент полезного действия есть отношение этой работы к теплоте, полученной рабочим телом от теплоисточника, т. е.

Заметим теперь, что по уравнению Пуассона (1.19) произведение остается неизменным при равновесном адиабатном расширении или сжатии. (Если в этом произведении заменить давление его выражением из уравнения то легко видеть, что закон Пуассона преобразуется к следующему виду:

т. е. адиабата идеального газа характеризуется неизменностью произведения

Объемы лежат на одной адиабате, причем объем соответствует температуре а объем температуре Следовательно,

Так как объемы и также лежат на одной адиабате и отвечают тем же температурам , то и для них можно написать аналогичное уравнение

Разделив первое из этих уравнений на второе и извлекая из обоих полученных отношений корень степени находим, что

Учитывая это обстоятельство, подставим (3.1) и (3.2) в (3.3) и, сократив числитель и знаменатель на равные величины

находим, что

т. е., как было сказано выше, к.п.д. цикла Карно для машины, работающей на идеальном газе, равен отношению разности температур теплоисточника и холодильника к абсолютной температуре теплоисточника.

Теперь мы должны обратиться к рассуждению о двух «сопряженных» друг с другом машинах Карно, из которых одна работает на идеальном газе, а другая — на произвольном веществе. Следуя Клаузиусу, мы покажем, что если к.п.д. у одной из этих машин был бы больше, чем у другой, то это привело бы к перпетуум-мобиле второго рода.