5.10. Обобщение основных формул на случай вырождения
Изложенные соображения и формулу (5.22), определяющую сумму состояний, необходимо дополнить в одном отношении, а именно: мы все время предполагали, что макросостояние задано распределением частиц по энергетическим ячейкам и что подсчет микросостояний сводится к учету возможных перестановок частиц между энергетическими уровнями. Но в более общем случае может оказаться необходимым учесть, что микросостояния могут различаться не энергетически, а по каким-либо иным признакам. Этот случай носит название вырождения уровней.
Если пребыванию частицы на энергетическом уровне 
соответствует не одно, а, скажем, 
микросостояний, различаемых по некоторому признаку, не связанному с изменением энергии, то говорят, что данный энергетический уровень вырожден и обладает статистическим весом
Мы должны теперь ввести это обобщение в 
-теорему Больцмана, что, как показал Планк, можно сделать методом предельного перехода. Действительно, наши рассуждения были построены вне зависимости от того, насколько отличаются энергетические уровни друг от друга по величине. Поэтому мы можем на время себе представить, что энергетические уровни группируются вокруг некоторых значений. Так, например, можно представить, что 
энергетических уровней имеет значение энергии, очень близкое к 
Это еще не есть вырождение; вырождение имеет место при переходе к пределу, когда энергетические уровни частиц совпадают, а перестановки между этими совпавшими уровнями требуется учитывать как отдельные микросостояния. Если мы не перешли к пределу, то выведенные нами формулы принципиально справедливы. Но в этом случае в сумме состояний 
члены будут чрезвычайно близки друг к другу по величине. Мы можем 
объединить и выразить следующим образом:
В связи с этим сумма состояний перепишется так:
Соответственно этому и закон равновесного распределения, т. е. 
-теорема Больцмана, преобразуется таким образом:
Наконец, для энергии получаем
В таком начертании все ранее выведенные формулы имеют универсальную общность, т. е. справедливы и в классической статистике и в квантовой как для систем вырожденных, так и для систем невырожденных.
