4.3. Уравнения для элемента теплоты и формулы для теплоемкостей и адиабатных производных

Имея в виду тела, состояние которых характеризуется двумя независимыми параметрами х и у, элемент теплоты равновесного процесса можно представить в виде суммы

Желая ввести в термодинамические расчеты теплоемкости и скрытые теплоты, мы присоединим к двум основным уравнениям термодинамики еще три уравнения, получаемые из указанного выражения для элемента теплоты, когда или или же

При выводе формул для вычисления интересующих нас термодинамических величин мы будем исходить из следующих пяти уравнений:

Рассматривая уравнение при (когда и вспоминая определение адиабатного модуля упругости (4.7), мы убеждаемся в справедливости упоминавшегося нами утверждения, что отношение адиабатного модуля упругости к изотермическому модулю упругости равно отношению теплоемкостей

Поскольку отношение теплоемкостей всегда больше единицы, а модуль упругости по определению пропорционален производной то,

следовательно, в диаграмме адиабаты всегда (для всех тел при любых состояниях) спадают к оси объемов круче, чем изотермы.

Выведем несколько формул для разности теплоемкостей Приравняв правые части уравнений и рассматривая полученное выражение при получаем соответственно

Если то же самое выражение, получившееся приравниванием правых частей уравнений мы рассмотрим при то найдем, что

или, учитывая (4.5),

Это соотношение между скрытыми теплотами можно было бы также получить из (4.30) или же сопоставляя друг с другом уравнения Клапейрона — Клаузиуса и Томсона» В связи с этим представляется безразличным, из какой формулы (4.30) исходить для вывода дальнейших формул для

Возьмем, например, первую формулу и совместим ее с уравнением Клапейрона — Клаузиуса (4.20) или же вторую формулу совместим с уравнением Томсона (4.28); в обоих случаях получим

Этой формулой часто приходится пользоваться в приложениях, в особенности при сопоставлении данных опыта, которые обычно относятся к с выводами молекулярной теорий, которые проще сделать для Формула (4.32) становится еще более удобной для расчетов, если подставить в нее значение производной

или

Разделив последнее уравнение на и введя отношение теплоемкостей находим

Из уравнений (4.29) и (4.34) получаем удобное уравнение для вычисления адиабатного модуля упругости

Обратимся теперь к выводу нескольких формул для вычисления изоэнтропийных производных Что касается последней из этих трех производных, то для ее вычисления может служить формула (4.29), которую, если вспомнить определение модулей упругости, можно записать так:

Рассматривая уравнение при (когда и пользуясь

(4.30), чтобы исключить I, находим

Аналогично, рассматривая уравнение при и исключая получаем

Очевидно, если ввести символы адиабатных коэффициентов то (4.37) и (4.38) можно переписать так: