4.7. Обобщенное уравнение Клапейрона-Клаузиуса и закон взаимности

Выведем некоторые соотношения для системы, состояние которой характеризуется тремя, четырьмя или еще большим числом независимых переменных. Совместим уравнения (2.2) и (3.8) первого и второго начал

С уравнениями для элементов работы и тепла, выраженных в нормальных

параметрах:

Среди обобщенных координат одна какая-либо означает объем системы; среди обобщенных сил одна из сил означает давление. Величины гл, представляют собой скрытые теплоты, сопряженные с обобщенными координатами; одна из этих величин означает скрытую теплоту расширения. Величина С есть теплоемкость при постоянном объеме и при постоянстве всех остальных обобщённых координат. Имеем

Приравнивая накрест взятые производные от коэффициентов при дифференциалах в первых двух членах уравнения (4.44), получаем

Аналогично из уравнения (4.45)

Умножив вторую формулу на Т и вычитая ее из первой, находим

Уравнение (4.46) представляет собой обобщение уравнения Клапейрона — Клаузиуса (4.21); оно позволяет вычислить скрытую теплоту, сопряженную с любой обобщенной координатой, коль скоро известна температурная производная обобщенной силы.

Снова обратимся к уравнениям (4.44) и (4.45) и в каждом из них приравняем накрест взятые производные для любых двух членов, кроме уже рассмотренного первого члена. Таким образом, памятуя, что все производные берутся, в частности, при неизменной температуре, получаем:

Сопоставляя эти две формулы, находим, что

Это важное для приложений термодинамики уравнение будем называть законом взаимности. Учитывая, что одна из обобщенных координат есть объем и одна из обобщенных сил есть давление (например, закон взаимности в частной форме можно написать так: