3.4. Коэффициент полезного действия любого обратимого цикла

Принцип сыграл ведущую роль в развитии научных основ тепло, техники. На основе этого принципа стало ясно, что для повышения -тепловых машин важно идти по пути расширения температурных пределов, между которыми происходит цикл рабочего тела, тогда как замена одного

Рис. 9. Схема термодинамического цикла (к доказательству теоремы Карно)

рабочего вещества другим сама по себе не может дать никаких выгод. Вообще говоря, форма цикла сказывается на величине к.п.д. При заданных температурных пределах цикл Карно в сравнении со всеми остальными циклами обратимых машин дает наибольший к.п.д.

Эта важная теорема может быть доказана посредством следующего рассуждения. Прежде всего обратим внимание на одно следствие из выражения (3.3) для к.п.д. цикла Карно. А именно из соотношения

получается, что

и, стало быть,

т. е. отношение изотермических теплот равновесного перехода с одной адиабаты на другую к абсолютной температуре, при которой этот переход производится, одинаково для всех изотерм и, следовательно, зависит только от удаленности друг от друга рассматриваемых адиабат.

Для наглядности допустим, что некоторый интересующий нас цикл, описываемый рабочим телом машины, имеет, например, вид, изображенный на рис. 9. Рассечем этот цикл сетью адиабат, проведенных на таком расстоянии друг от друга, чтобы для всех смежных друг с другом адиабат имело место равенство

где теплоты изотермического перехода от одной адиабаты к соседней, а абсолютные температуры, при которых этот переход производится. Если адиабаты проведены так, что равенство (3.6а) соблюдено для температур, которые характеризуют ход нижней половины цикла, то в силу соотношения (3.5) равенство, аналогичное (3.6а), окажется действительным и для отрезков изотерм, передающих ход верхней половины цикла:

причем члены обеих строчек равенства (3.6а) и (3.66) одинаковы:

(отношение сообщаемой телу теплоты к абсолютной температуре тела называют приведенной теплотой). На рис. 9 представлена схема расчленения

некоторого цикла на чередующиеся отрезки адиабат и изотерм. При бесконечно большом числе адиабат ломаные линии, построенные из отрезков адиабат и изотерм, могут быть приведены к сколь угодно близкому соответствию с любой формой цикла.

Теплоту получаемую рабочим телом от теплоисточников различной температуры, можно рассматривать как сумму теплот изотермических переходов от одной адиабаты к смежной вдоль всей верхней половины цикла:

Перепишем это равенство, умножив и разделив каждый член на абсолютную температуру, при которой производится переход на смежную адиабату:

или, учитывая соотношение (3.6а)

Аналогично теплоту которую рабочее тело отдает холодильникам разной температуры, можно рассматривать как сумму теплот изотермических переходов от одной адиабаты к другой вдоль всей нижней половины цикла:

Придав этому равенству вид

и учитывая соотношение (3.66), получаем

Подставив найденные выражения для теплот в формулу (3.3) и учтя после преобразования найдем

где

— среднеарифметическая абсолютная температура отрезков изотерм, передающих ход верхней половины цикла, или, иначе говоря, средняя абсолютная: температура теплоисточников. Аналогично

есть среднеарифметическая абсолютная температура отрезков изотерм, передающих ход нижней половины цикла, т. е. средняя абсолютная температура холодильников.

Уравнение является удобным обобщением уравнения Карно. Оно применимо к циклу любой формы вне зависимости от свойств рабочего тела. Уравнение в частности, показывает, что при заданных температурных пределах, между которыми осуществляется цикл, к.п.д. цикла тем больше

чем ближе средняя температура теплоисточников к температуре наиболее горячего из них и чем ближе средняя температура холодильников к температуре наиболее холодного из них (в этом случае отношение минимально и величина максимальна). Отсюда очевидно, что цикл Карно обладает наибольшим к.п.д., чем все остальные циклы (в тех же температурных пределах).

Здесь следует упомянуть, что форма некоторых циклов иногда позволяет одни и те же тела промежуточной температуры использовать в одной половине цикла как теплоисточники, а в другой половине цикла — как холодильники. Такая регенерация тепла повышает к.п.д. цикла и приближает цикл по его свойствам к циклу Карно.