Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть функция монотонна в некотором интервале и имеет в точке у этого интервала производную не равную нулю. Покажем, что в соответствующей точке обратная функция имеет производную причем
Так как по условию функция монотонна и дифференцируема (а следовательно, и непрерывна), то по теореме о существовании обратной функций (см. гл. V, § 2, п. 4) функция существует, монотонна и непрерывна. Дадим аргументу приращение Тогда функция получит приращение , которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля. Кроме того, вследствие непрерывности функции при также будет стремиться к нулю. Следовательно,
монотонна в некотором интервале и имеет в точке у этого интервала производную 
не равную нулю. Покажем, что в соответствующей точке 
обратная функция 
имеет производную 
причем
монотонна и дифференцируема (а следовательно, и непрерывна), то по теореме о существовании обратной функций (см. гл. V, § 2, п. 4) функция 
существует, монотонна и непрерывна. Дадим аргументу 
приращение 
Тогда функция 
получит приращение 
, которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля. Кроме того, вследствие непрерывности функции 
при 
также будет стремиться к нулю. Следовательно,
