120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

Особенное значение имеют ряды с положительными (не отрицательными) членами, для которых все числа

Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости.

1. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся; для такого ряда

Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма его первых членов при всяком оставалась меньше некоторой постоянной не зависящей от .

Действительно, для такого ряда сумма не убывает при возрастании , так как при этом добавляются новые положительные (неотрицательные) слагаемые, и все наши утверждения вытекают из разобранных раньше свойств возрастающих переменных [30].

Для суждения о сходимости или расходимости рядов с положительными членами часто полезно бывает сравнить их с другими, более простыми рядами, чаще всего с геометрической прогрессией.

Для этого мы установим признак:

2. Если каждый член ряда с положительными членами

начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда

то и ряд (11) также сходится.

Если же, наоборот, каждый член ряда (11), начиная с некоторого , не меньше соответствующего члена расходящегося ряда (12) с положительными членами, то и ряд (11) также расходится.

Допустим сперва, что мы имеем

причем ряд (12) сходится. Не ограничивая общности, мы можем считать, что это неравенство выполняется при всех значениях , отбросив, в случае надобности, те первые члены, для коих оно не выполняется (свойство III [119]). Обозначив через сумму первых членов ряда (11), через аналогичную сумму для ряда (12), мы имеем, в силу (13),

Но ряд (12) по условию сходится, и, обозначив через о сумму ряда (12), имеем

а потому и

откуда, в силу 1, вытекает сходимость ряда (11).

Пусть теперь выполняется неравенство

Мы имеем, очевидно,

но ряд (12) теперь расходится, и сумма первых его членов может быть сделана больше сколь угодно большого данного наперед числа; тем же свойством, в силу (15), обладает и т. е. ряд (11) будет также расходящимся.

Замечание. Из сходимости (или расходимости) ряда (12) вытекает и сходимость (или расходимость) ряда

где k — какое угодно постоянное положительное число.

Действительно, из сходимости ряда вытекает и сходимость ряда в силу I [119]. Наоборот, если расходится, то и ряд должен быть расходящимся, ибо, если бы он сходился, то, умножая его члены на у, мы, в силу имели бы и сходимость ряда Из сказанного вытекает:

Ряд (11) сходится, если

причем ряд сходящийся и k — какое-нибудь положительное число; ряд (11) расходится, если

причем ряд расходящийся.

Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительными членами.