ГЛАВА XVI. РЯДЫ

§ 1. Ряд. Сумма ряда

Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется частичной суммой ряда:

Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел

то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует (например, при ), то творят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.

Пример. Рассмотрим ряд

Это — геометрическая прогрессия с первым членом а и знаменателем . Сумма первых членов геометрической прогрессии равна

или

1) Если то при и, следовательно,

Значит, в случае ряд (2) сходится и его сумма

2) Если , то при и тогда при не существует. Таким образом, в случае ряд (2) расходится.

3) Если , то ряд (2) имеет вид

В этом случае

т. е. ряд расходится.

4) Если , то ряд (2) имеет вид

В этом случае

Следовательно, предела не имеет — ряд расходится.

Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом, отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Доказательство. Пусть сумма первых членов ряда сумма k отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом все отброшенные членц содержатся в сумме сумма членов ряда, входящих в сумму и не

входящих в . Тогда имеем:

где — постоянное число, не зависящее от .

Из последнего соотношения следует, что если существует то существует и если существует то существует и , а это и доказывает справедливость теоремы.

В заключение параграфа укажем два простых свойства рядов. Теорема 2. Если ряд

сходится и его сумма равна s, то ряд

где с — какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна .

Доказательство. Обозначим частичную сумму ряда (3) через , а ряда . Тогда

Отсюда ясно, что предел частичной суммы ряда (4) существует, так как

Итак, ряд (4) сходится и его сумма равна

Теорема 3. Если ряды

и

сходятся и их суммы соответственно равны s и 1, то ряды

и

также сходятся и их суммы соответственно равны

Доказательство. Докажем сходимость ряда (7). Обозначая его частичную сумму через частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через и получим

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим

Таким образом, ряд (7) сходится и его сумма равна .

Аналогично доказывается, что ряд (8) также сходится и его сумма равна .

Про ряды (7) и (8) говорят, что они получены в результате почленного сложения или соответственно почленного вычитания рядов (5) и (6).