9. Примеры собственных движений линейных систем

Пример 1. Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид

Для нее матрица

ее характеристическое уравнение имеет простые чисто мнимые корни

Присоединенная матрица

а

В качестве модального столбца берем второй столбец:

откуда

По формулам (7.9) составляем

В соответствии с (7.11) решение

откуда

Пример 2. Для системы

матрица

Ее характеристическое уравнение

имеет корни

Так как

то откуда видно, что элементарные делители линейны.

В рассматриваемом случае для корней кратность поэтому и нам достаточно построить матрицу

Возьмем в качестве модальных столбцов первый и второй столбцы матрицы поэтому с точностью до постоянных множителей

откуда

Соответственно

откуда

Пример 3. Система

имеет характеристическое уравнение

с корнями и присо единенную матрицу

Для корней

Соответственно

и

Пример 4. Система

имеет матрицу

с характеристическим уравнением

корни которого Инвариантный множитель

имеет нелинейные элементарные делители. Присоединенная матрица и ее производная выражаются формулами

поэтому

В качестве модальных столбцов возьмем линейно независимые столбцы матриц из которых вынесены постоянные множители

Соответственно