9. Примеры собственных движений линейных систем
Пример 1. Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид
Для нее матрица
ее характеристическое уравнение
имеет простые чисто мнимые корни
Присоединенная матрица
а
В качестве модального столбца
берем второй столбец:
откуда
По формулам (7.9) составляем
В соответствии с (7.11) решение
откуда
Пример 2. Для системы
матрица
Ее характеристическое уравнение
имеет корни
Так как
то
откуда видно, что элементарные делители линейны.
В рассматриваемом случае для корней
кратность
поэтому
и нам достаточно построить матрицу
Возьмем в качестве модальных столбцов первый и второй столбцы матрицы
поэтому с точностью до постоянных множителей
откуда
Соответственно
откуда
Пример 3. Система
имеет характеристическое уравнение
с корнями
и присо единенную матрицу
Для корней
Соответственно
и
Пример 4. Система
имеет матрицу
с характеристическим уравнением
корни которого
Инвариантный множитель
имеет нелинейные элементарные делители. Присоединенная матрица и ее производная выражаются формулами
поэтому
В качестве модальных столбцов
возьмем линейно независимые столбцы матриц
из которых вынесены постоянные множители
Соответственно