Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 43. ПримерыПример 1. Группы симметрий уравнений классической механики:
Прежде всего заметим следующее. В механике сила х. Однако всякие такие зависимости отражают некоторые подробности конкретно выбранной задачи. При построении групп симметрий уравнений механики, отражающих наиболее общие свойства этих уравнений, никакими конкретными зависимостями силы от аргументов интересоваться не нужно. Поэтому мы и будем полагать силу постоянной. Искомая группа симметрий действует в пространстве переменных
Уравнение (43.1) должно быть инвариантным относительно дважды продолженной группы с оператором:
где Уравнение (43.1) в пространстве переменных
Условие ее инвариантности есть
что в данном случае дает
В соответствии с (40.7) и (40.4) в используемых в этом примере обозначениях
Следовательно, условие инвариантности есть
Так как функция
Подставим в эти уравнения
Поскольку функции
Из этих уравнений видно, что
но тогда
причем Общее выражение для оператора
где
Первые два оператора определяют трансляции, третий — группу неоднородных растяжений (изменение масштабов) и четвертый — группу Галилея. Рассмотрен одномерный случай. Пространственный случай рассматривается аналогично. Необходимо только предварительно получить аналоги формул (40.7) и (40.4), определяющих продолжение оператора для пространственного случая. Базис операторов в пространственном случае следующий:
Алгебра симметрий уравнений классической механики восьмимерна. Заметим, что операторы группы вращений не входят в эту алгебру. Уравнения Ньютона не инвариантны по отношению к поворотам. Преобразования группы вращений изменяют уравнения Ньютона, однако обе части этих уравнений (ускорения и силы) изменяются по одному и тому же закону, и это отражается в несколько ином понятии — ковариантности [19]. Пример 2. Релятивистская механика. Построение уравнений релятивистской механики основывается на трех аксиомах: A. Аксиома инерциальной координатной системы: существует система координат Б. Аксиома относительности: в любых инерциальных системах уравнения Максвелла в пустоте имеют одинаковый вид:
B. Аксиома динамики: в любых инерциальных системах закон движения материальной точки выражается дифференциальным уравнением второго порядка, имеющим пределом уравнение Ньютона при с
где Для нахождения релятивистских уравнений динамики необходимо выяснить, как связаны друг с другом инерциальные системы в силу условия инвариантности уравнений Максвелла, т. е. необходимо найти группу симметрий этих уравнений. Из уравнения Максвелла последовательно получаем
(без ограничения общности Рассмотрим для простоты одномерный случай (там, где неодномерность будет существенной, это будет указано):
По-прежнему исходим из условия (42.11), в котором операторы А и
(Поскольку нас интересуют лишь преобразования независимых переменных, то В результате чего определяющие уравнения для нахождения коэффициентов искомого оператора
Из
Следовательно, независимы только три соотношения:
где Имеем систему трех уравнений для нахождения двух функций Произвольную функцию к
то заведомо будет существовать решение этой системы, если в качестве к взять любую из этих функций, т. е. Начнем со случая
где
Для продолжения процесса к может быть выбрано в одном из следующих видов:
Для
Положим теперь
В силу независимости С от
где а — произвольная константа. Откуда
Следовательно,
т. е. к найденным операторам добавляется новый:
Совершенно аналогично находим: для
для
Начиная с операторов
Таким образом, единственной группой, отличной от трансляций и однородных растяжений, удовлетворяющей поставленным условиям, является группа, определяемая оператором:
Это и есть группа Лоренца. Преобразование координат
Для построения самой группы решаем уравнения
где правые части составлены из компонент оператора (43.8). Первые два уравнения дают
Из третьего находим
Последним соотношением удобно воспользоваться, чтобы придать каноническому параметру
Подставляя это выражение для
Это и есть полные выражения для дважды продолженной группы Лоренца. Первые два соотношения — обычные преобразования Лоренца, третье — закон преобразования скоростей, четвертое — закон преобразования ускорений. Закон преобразования скоростей часто неточно называется законом сложения скоростей. Он может рассматриваться лишь как частный случай последнего, когда одна из складываемых скоростей — переменная Построим инварианты группы (43.11). Исходим из уравнения
Откуда следуют три инварианта:
Инвариант
откуда следует
т. е. интегральный инвариант группы Лоренца имеет вид
где В частности, инвариант
в теории относительности получил название собственного времени частицы, движущейся со скоростью х. После того как найдены инварианты, можно приступить к нахождению обобщения для уравнений Ньютона. По постулату В это уравнение должно иметь одинаковый вид в любой инерциальной системе координат. Иными словами, оно должно быть инвариантным относительно построенной группы Лоренца. Общий вид уравнений второго порядка, инвариантных относительно заданной группы, в соответствии с (41.9) есть
В силу однородности пространства (допустимость группы трансляций) зависимости от
Из условия
находим Для получения трехмерного случая перепишем (43.13) в виде
Если система допускает лагранжево описание, то лагранжиан должен удовлетворять уравнению
откуда находим
Трехмерное обобщение, учитывающее инвариантность лагранжиана относительно поворотов, есть
Заметим, что действие по Гамильтону
есть интегральный инвариант, поэтому пространственные уравнения релятивистской механики должны иметь вид
Поскольку при записи уравнений Лагранжа в новых переменных Пример 3. Уравнения механики Пуанкаре. Пусть имеется механическая система, Т — ее кинетическая энергия, Пусть Пусть, наконец, в области определения системы действует локальная группа Ли, обладающая свойством транзитивности (группа транзитивна, если для любых двух точек пространства положений существует преобразование из группы, переводящее одну точку в другую). Группа транзитивна тогда и только тогда, когда она содержит
векторы
образуют в пространстве х базис, по которому можно разложить скорость:
Выберем в качестве фазовых переменных системы переменные
Подставляя (43.14) в (кликните для просмотра скана) (кликните для просмотра скана) Частным случаем уравнений являются, очевидно, уравнения Лагранжа. В динамике твердого тела роль переменных Пример 4. Теорема Нётер. Если функция Лагранжа механической системы
где
Доказательство. Для того чтобы записать условие инвариантности лагранжиана, необходимо построить продолжение оператора группы на скорости. С этой целью будем полагать, что группа действует в расширенном координатном пространстве
Условие инвариантности лагранжиана есть
Из уравнений Лагранжа имеем
Подставляя в условие инвариантности, получим
или
что и требовалось. Замечание 1. Эта теорема легко обобщается на неголономные системы. В самом деле, пусть неголономная связь имеет вид
где К условиям теоремы Нётер в этом случае следует добавить естественное требование
После подстановки этого выражения в условие инвариантности приходим к тому же результату благодаря введенному дополнительному требованию. Замечание 2. Обобщение теоремы Нётер. Если существует группа (в отличие от предыдущего, время преобразуется тоже):
для которой действие по Гамильтону
есть интегральный инвариант, то у системы есть интеграл
где Н — функция Гамильтона,
Доказательство. Условие интегрального инварианта (40.12) запишется
Учитывая (40.4), перепишем это равенство:
Так как имеет место
то это дает
Или иначе:
Откуда и следует приведенное утверждение.
|
1 |
Оглавление
|