Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 19. Математические основы метода осредненияПриведенные в предыдущем разделе рассуждения, основанные на введении понятия эволюции при помощи оператора сглаживания, оправдывают рассмотренную приближенную процедуру, но не обосновывают ее. Между тем потребность в обосновании диктуется не только стремлением к формально-математической завершенности решения. При невыполнении строгих условий применимости метода могут возникнуть погрешности, грубо искажающие наше представление о существе исследуемого явления. В рассмотренном выше примере осциллятора с кубическим демпфированием полученное приближенное решение (18.15) правильно описывает характер затухания колебаний в системе, если
Оно уходит за конечное время в бесконечность при любых не равных нулю начальных условиях. В действительности же для точного уравнения существует множество не нулевых начальных условий, для которых решение уходит в бесконечность за бесконечное время. Таким образом, приближенное решение даже качественно не соответствует точному. Приводимые ниже теоремы устанавливают четкие границы применимости метода осреднения и позволяют избежать подобных неприятностей. Основной результат теории составляет теорема Н. Н. Боголюбова. Мы приведем полностью доказательство этой теоремы, поскольку техника доказательства [62] является, во-первых, типичной для такого рода результатов, во-вторых, конструктивной, т. е. она позволяет строить эффективные оценки точности для конкретных задач. Будут сравниваться две начальные задачи Коши:
На систему 1, правая часть которой определена в некоторой области а) б) можно найти такие две ни от чего не зависящие константы М и нормой понимается евклидова норма в) предел Прежде чем формулировать и доказывать теорему Боголюбова, прокомментируем условия, накладываемые на правые части изучаемой системы I. Самые слабые условия накладываются на аналитические свойства зависимости правых частей от времени. Под условие измеримости подходят кусочно-непрерывные функции, что в подавляющем большинстве случаев исчерпывает потребности практики. Может показаться излишне обременительным первое из условий б) (ограниченность X в области определения). Например, функция выполнение этого условия бывает очевидно по самому смыслу изучаемого процесса. Если функция Теорема 1. Если решение и
При
Если правая часть системы периодична
Доказательство. Левша (Гронуолла). Пусть скалярные и непрерывные при
где С — положительное число, то верным для них будет и следующее неравенство:
на том же интервале времени. Доказательство леммы. Из неравенства, входящего в условие леммы, получаем
Умножая на неотрицательную функцию
Так как
то, интегрируя последнее соотношение в пределах от нуля до
или
откуда, вспоминая исходное неравенство, и получаем
Лемма доказана. Доказательство теоремы. Перейдем от систем I и II к эквивалентным им интегральным уравнениям, после чего вычтем из первой вторую:
В подынтегральном выражении добавим и вычтем функцию
где можно написать
где
Оценка величины
Если и
Обозначим
где По только что доказанному
Остается оценить
Рис. 7
Рис. 8 Норма разности
откуда
что дает
Или окончательно имеем
Очевидно, что Рассмотрим теперь периодический случай. Пусть Т — период и
Поскольку
то
Как и в предыдущем случае,
Учитывая, что Теорема доказана. Рассмотрим пример применения сформулированной теоремы. В примере с осциллятором с кубическим демпфированием
Решение осредненной системы (18.13) с начальными условиями:
Область Все условия теоремы в этой области выполнены, следует только подсчитать константы М и X, фигурирующие в оценке (19.2). Имеем
Подставляя выражения для М и К в соотношение (19.2), получаем
Такая оценка будет верна, если неизвестное точное решение То максимальное значение
Пусть нам задан параметр В случае, когда имеется отрицательное кубическое демпфирование, решение и Если рассматриваемое решение осредненной системы асимптотически устойчиво, то оценки типа (19.1), (19.2) оказываются справедливыми на бесконечном интервале времени. Этот факт был установлен К. Банфи [61]. Предметом интереса в теории колебаний часто является не начальная задача Коши для систем вида (18.7), а стационарные режимы, которые для исходных уравнений (18.7) обычно определяют периодический процесс. Метод осреднения позволяет не только доказать существование и найти такой процесс, но и изучить его устойчивость. При обосновании решения задачи в такой постановке приходится сравнивать не частные решения точной и осредненной систем с одинаковыми начальными условиями, а стационарные режимы в этих системах, которые, вообще говоря, удовлетворяют различным начальным условиям. Соответствие между такими решениями устанавливает теорема 2. Теорема 2. Имеются две системы I и II:
Пусть Т — период функции
Пусть
имеют отрицательные вещественные части (стационарное решение системы II асимптотически устойчиво), то это периодическое решение системы I асимптотически устойчиво. Для справедливости теоремы требуется существование непрерывных частных производных первого порядка по
|
1 |
Оглавление
|