19. Математические основы метода осреднения

Приведенные в предыдущем разделе рассуждения, основанные на введении понятия эволюции при помощи оператора сглаживания, оправдывают рассмотренную приближенную процедуру, но не обосновывают ее. Между тем потребность в обосновании диктуется не только стремлением к формально-математической завершенности решения. При невыполнении строгих условий применимости метода могут возникнуть погрешности, грубо искажающие наше представление о существе исследуемого явления. В рассмотренном выше примере осциллятора с кубическим демпфированием полученное приближенное решение (18.15) правильно описывает характер затухания колебаний в системе, если . Если же перед параметром 8 в уравнении осциллятора стоит знак «минус», то решение (18.15) в этом случае принимает вид

Оно уходит за конечное время в бесконечность при любых не равных нулю начальных условиях. В действительности же для точного уравнения существует множество не нулевых начальных условий, для которых решение уходит в бесконечность за бесконечное время. Таким образом, приближенное решение даже качественно не соответствует точному.

Приводимые ниже теоремы устанавливают четкие границы применимости метода осреднения и позволяют избежать подобных неприятностей.

Основной результат теории составляет теорема Н. Н. Боголюбова. Мы приведем полностью доказательство этой теоремы, поскольку техника доказательства [62] является, во-первых, типичной для такого рода результатов, во-вторых, конструктивной,

т. е. она позволяет строить эффективные оценки точности для конкретных задач.

Будут сравниваться две начальные задачи Коши:

На систему 1, правая часть которой определена в некоторой области переменных (область — открытая, связная область в -мерном пространстве) и для накладываются следующие условия:

а) — измеримая по функция при любых фиксированных частности, кусочно-непрерывная функция, множество точек разрыва которой не имеет точек сгущения);

б) можно найти такие две ни от чего не зависящие константы М и что для любых значений переменных из области определения (под

нормой понимается евклидова норма

в) предел существует равномерно относительно и из и из

Прежде чем формулировать и доказывать теорему Боголюбова, прокомментируем условия, накладываемые на правые части изучаемой системы I.

Самые слабые условия накладываются на аналитические свойства зависимости правых частей от времени. Под условие измеримости подходят кусочно-непрерывные функции, что в подавляющем большинстве случаев исчерпывает потребности практики.

Может показаться излишне обременительным первое из условий б) (ограниченность X в области определения). Например, функция определена для и неограничена в Однако для выяснения близости найденного решения системы II к соответствующему, но не найденному решению системы I свойства правых частей достаточно рассматривать не во всей области их определения, а лишь в малой окрестности (трубке) решения приближенной системы, в которой и следует вычислять константы Второе из условий, называемое условием Липшица, более жесткое. Оно выполнено заведомо если функция дифференцируема по в области определения, и не выполнено, если эта функция разрывна по х. Обобщение доказываемой ниже теоремы на случай разрывных по х функций (кусочно-непрерывных с изолированными поверхностями разрыва) не представляет больших затруднений. Требуется только дополнительно накладывать условие, что траектория не скользит по поверхности разрыва или вблизи нее, а протыкает ее с ненулевым углом наклона. В конкретных задачах теории колебаний

выполнение этого условия бывает очевидно по самому смыслу изучаемого процесса.

Если функция периодична по то в условии в) предел заведомо существует, однако проверка этого условия всегда необходима, поскольку может не выполниться требование равномерности этого предела по параметру . Например, это имеет место для скалярного уравнения правая часть которого периодична. Ее среднее существует и равно нулю, но рассматриваемый предел неравномерен по из интервала Поэтому для этого примера формируемая ниже теорема неверна.

Теорема 1. Если решение и начальной задачи Коши для системы II определено для и принадлежит области вместе со своей -окрестностью, то для любого наперед заданного числа можно найти такое, что

При

Если правая часть системы периодична , то оценка (19.1) может быть существенно улучшена:

Доказательство. Левша (Гронуолла). Пусть скалярные и непрерывные при функции неотрицательны. Если для них выполнено неравенство

где С — положительное число, то верным для них будет и следующее неравенство:

на том же интервале времени.

Доказательство леммы. Из неравенства, входящего в условие леммы, получаем

Умножая на неотрицательную функцию найдем

Так как

то, интегрируя последнее соотношение в пределах от нуля до будем иметь

или

откуда, вспоминая исходное неравенство, и получаем

Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Перейдем от систем I и II к эквивалентным им интегральным уравнениям, после чего вычтем из первой вторую:

В подынтегральном выражении добавим и вычтем функцию после чего оценим это соотношение по норме, пользуясь свойствами нормы и условием б):

где Полученное неравенство удовлетворяет условиям леммы Гронуолла, поэтому

можно написать

где

Оценка величины зависит от того, является ли X периодической функцией или нет. Начнем с непериодического случая. Предварительно заметим, что в любом случае функции удовлетворяют условию б) с константами

Если и — стационарное решение начальной задачи Коши II, то, полагая , в силу условия в) теоремы имеем

Обозначим существует и стремится к нулю вместе сев силу предположения о равномерности предела по и по . Таким образом, для стационарного решения при . Покажем, что общий случай сводится к стационарному. Разобьем интервал на равных интервалов (рис. 7) и запишем

где

По только что доказанному

Остается оценить

Рис. 7

Рис. 8

Норма разности оценивается исходя из начальной задачи Коши:

откуда

что дает

Или окончательно имеем

Очевидно, что следует выбрать так, чтобы правая часть этого соотношения была минимальной: Откуда и следует оценка (19.1).

Рассмотрим теперь периодический случай. Пусть Т — период и Тогда

Поскольку

то

Как и в предыдущем случае, . Поэтому

Учитывая, что получим неравенство (19.2).

Теорема доказана.

Рассмотрим пример применения сформулированной теоремы. В примере с осциллятором с кубическим демпфированием

Решение осредненной системы (18.13) с начальными условиями: имеет вид

Область в которой определена система (18.11) и которая фигурирует в теореме, совпадает со всей плоскостью При построении оценок точности выгодно брать область как можна меньшей. Достаточно взять лишь -окрестность решения (19.4). Такая область изображена на рис. 8.

Все условия теоремы в этой области выполнены, следует только подсчитать константы М и X, фигурирующие в оценке (19.2). Имеем

Подставляя выражения для М и К в соотношение (19.2), получаем

Такая оценка будет верна, если неизвестное точное решение на рассматриваемом интервале времени лежит в области

То максимальное значение , при котором это можно гарантировать, и есть фигурирующее в теореме Очевидно, оно может быть найдено из условия равенства оценки нормы величине

Пусть нам задан параметр и интервал времени, на котором рассматривается решение Тогда число Из соотношения (19.5) получаем, что Это дает нам Подставляя их в оценку (19.2), получаем для

В случае, когда имеется отрицательное кубическое демпфирование, решение и не ограничено. Неограниченной оказывается и область . В неограниченной области правые части (18.11) также неограничены, т. е. теорема 1 не дает никаких гарантий точности, поскольку

Если рассматриваемое решение осредненной системы асимптотически устойчиво, то оценки типа (19.1), (19.2) оказываются справедливыми на бесконечном интервале времени. Этот факт был установлен К. Банфи [61].

Предметом интереса в теории колебаний часто является не начальная задача Коши для систем вида (18.7), а стационарные режимы, которые для исходных уравнений (18.7) обычно определяют периодический процесс. Метод осреднения позволяет не только доказать существование и найти такой процесс, но и изучить его устойчивость. При обосновании решения задачи в такой постановке приходится сравнивать не частные решения точной и осредненной систем с одинаковыми начальными условиями, а стационарные режимы в этих системах, которые, вообще говоря, удовлетворяют различным начальным условиям. Соответствие между такими решениями устанавливает теорема 2.

Теорема 2. Имеются две системы I и II:

Пусть Т — период функции по не зависящий от

Пусть — стационарное решение системы II, т. е. для которого матрица невырожденна. Тогда для всех достаточно малых системы I существует периодическое решение с периодом Г, которое при стремится к Если, кроме того, собственные числа X этой матрицы, определяемые характеристическим уравнением

имеют отрицательные вещественные части (стационарное решение системы II асимптотически устойчиво), то это периодическое решение системы I асимптотически устойчиво.

Для справедливости теоремы требуется существование непрерывных частных производных первого порядка по функции в окрестности точки а также непрерывность этой функции по и ее непрерывность (достаточно и измеримости) по Таким образом, теорема 2 позволяет из существования и устойчивости стационарного режима в осредненной системе (что, как правило, представляет собой достаточно простую задачу) выводить существование и устойчивость периодического решения в точной системе. Полное доказательство теоремы приведено в [11].