35. Уравнение Лиувилля. Инварианты. Собственные функции

Пусть группа задана через канонический параметр

и ой эквивалентна по доказанному система

Вернемся к вопросу о преобразовании с помощью этой группы некоторой функции :

Определим производную этой функции по :

Или в силу (35.1)

где — оператор группы.

Уравнение

называется уравнением Лиувилля.

Найдем связь преобразованной функции с исходной функцией и оператором преобразования

Ряд Тейлора для

Здесь

а из (35.2) имеем

Обозначив получим

т. е.

к! гак далее. В результате получаем искомую связь в виде

Этот ряд называется рядом Ли. Он может быть записан еще в такой форме:

Выражение (35.3) служит определением операторной экспоненты (35.4). Дифференцируя (35.3) по имеем

Иными словами, имеет место правило

С другой стороны, полученное представление позволяет переписать уравнение Лнувилля в эквивалентной форме:

Здесь уже оператор зависит от старых переменных:

Дополнив начальным условием получаем начальную задачу Коши для уравнения в частных производных (35.5) относительно искомой функции эквивалентную системе нелинейных дифференциальных уравнений (35.1). Эквивалентность понимается в следующем смысле. Если известно общее решение системы (35.1): то решение (35.5) есть

Обратно, если известно решение указанной начальной задачи для то, выбрав в качестве вначале затем получим общее решение (35.1).

Указанная эквивалентность позволяет заменить изучение нелинейной системы (35.1) часто более удобным изучением линейного уравнения (35.5).

Из (35.3) для частного вида функции следуют формулы, восстанавливающие группу по ее оператору:

которые представляют собой также запись решения системы дифференциальных уравнений (35.1) с начальными условиями форме рядов по .

Пример. Восстановить группу вращений по ее оператору то можно сделать, решив начальную задачу Коши:

Пользуемся рядами Ли (35.6). Последовательно находим

откуда имеем

Определение. Функция называется инвариантом группы, если она не изменяется группой:

Ряд Ли (35.3) показывает, что, для того чтобы аналитическая функция своих переменных была инвариантом группы, необходимо и достаточно, чтобы она была корнем оператора группы:

Свойство инварианта. Пусть — инвариант, — произвольная функция. Тогда

т. е. инвариант группы играет роль константы для ее оператора.

Определение. Функция называется собственной функцией оператора, если

где — инвариант, называемый в данном случае собственным значением.

Если — собственная функция оператора, то она преобразуется соответствующей этому оператору группой так:

где - инвариант группы при любом фиксированном Это следует из (35.3) и (35.8).

Очевидно следующее свойство собственных функций оператора. Если — собственная функция, соответствующая собственному значению аналогично этому то

— также собственная функция, соответствующая собственному значению

Пример. Группа винтов в

Ее оператор Инвариантом группы является функция

В этом можно убедиться двумя способами. Во-первых,

и, во-вторых, из условия имеем

Инвариантное семейство кривых. Если функция есть инвариант группы, то, приравнивая ее произвольной постоянной , получим семейство кривых в плоскости каждая из которых группой не изменяется, т. е. каждая кривая преобразуется сама в себя. Иными словами, любая кривая такого семейства является инвариантной кривой.

Представляет интерес несколько иная ситуация. Пусть задано некоторое семейство кривых Причем функция инвариантом группы не является. Таким образом, преобразования группы изменяют кривые семейства. Нас будет интересовать случай, когда при таком изменении они будут переходить в другие кривые того же семейства. Такое семейство и будет называться инвариантным.

Пример. Семейство прямых, исходящих из начала координат, является инвариантным семейством группы вращения.

Найдем условие, которому должна удовлетворять функция со чтобы она определяла инвариантное семейство.

Пусть — два представления одного и того же семейства. Каждая кривая одного представления конгруэнтна некоторой кривой другого. Это значит, что для каждого

значения С первого представления найдется такое значение к второго, что оба представления определяют одну и ту же кривую. То есть к есть функция Но тогда . Таким образом, условие инвариантности семейства состоит в следующем:

Раскладывая (35.10) в ряд по найдем

Сравнивая этот ряд с рядом Ли (35.3), находим необходимое условие инвариантности семейства в виде

Это условие является и достаточным, поскольку, если оно выполнено, то

и так далее. Это условие можно представить в более удобной форме, если избавиться от произвола в выборе функции Будем искать из него не , а некоторую функцию от этой функции: . Поскольку определяет то же семейство, то

Откуда следует

Пользуясь произволом в выборе положим Это приводит к условию

которое и будем считать основным для нахождения инвариантного семейства кривых.

Инвариантная кривая. Рассмотрим условия инвариантности одной отдельно взятой кривой в плоскости х, у:

Эта кривая называется инвариантной кривой группы, если она не изменяется при действии любого преобразования из группы. При этом кривая может оставаться неизменной в двух случаях. Во-первых, если остается неподвижной каждая точка кривой и, во-вторых, если каждая точка кривой преобразуется в точку, принадлежащую этой же кривой. Первый случай реализуется, если равен нулю сам оператор группы на этой кривой, т. е.

Во втором случае должно быть выполнено условие (35.7), однако уже не для любых х и у, а в точках самой кривой:

Пример. Инвариантной кривой, целиком составленной из инвариантных точек, для группы, порождаемой оператором

будет прямая

Пример. Инвариантной кривой второго типа для оператора

является окружность

Действительно,

обращается в нуль на этой окружности.

Аналогичные понятия (инвариантные кривые, инвариантные поверхности) имеют место в пространстве измерений.