10. Общий случай вынужденных движений линейных систем

Рассмотрим теперь общий случай вынужденных движений, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений вида

элементы матриц являются постоянными скалярами, элементы матрицы-столбца считаются известными функциями времени. Уравнение (10.1) запишется

Прежде чем начать изложение теории вынужденных движений, выведем необходимую для дальнейшего изложения интерполяционную формулу Лагранжа.

Предположим сначала, что на плоскости комплексного переменного X заданы различных точек и значения некоторой функции в этих точках. Тогда полином степени

принимает в точках заданные наперед значения Полином называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Обозначая через перепишем в виде

Пусть теперь среди точек имеются кратные точки, т. е. имеются точки кратности Сгруппируем эти кратные точки в виде групп. Переобозначим точки X следующим образом: значения точек соответствующие первой группе, обозначим через значения точек соответствующие второй группе, обозначим через значения точек обозначим через Таким образом, мы получаем кратных точек причем кратность точки есть число кратность точки Х есть число суммарная кратность равна

Возьмем теперь скалярную аналитическую функцию , регулярную в некоторой области, включающей все точки Если обозначить через то функция не имеет кроме полюсов в рассматриваемой области других особых точек, поэтому она может быть представлена в форме

Здесь функция, регулярная в рассматриваемой области.

Запишем относящиеся к полюсам функции в следующем виде:

Вводя формальное обозначение представим соотношения (10.7) в сокращенной форме:

Если подставить это выражение в (10.6) и полученное соотношение умножить на то после несложных преобразований получаем, что

Здесь регулярна в окрестности точки поэтому произведение обращается в нуль вместе с производными до порядка.

Полагая в соотношении находим

Дифференцируя соотношение (1.9) по X и полагая в полученном равенстве определяем

Продолжая этот процесс, находим общую формулу

Подставляя формулы (10.8), (10.10) в соотношение (10.6), получаем

откуда

где выражение

представляет собой полином степени.

Произведение регулярное в рассматриваемой области, обращается в нуль при вместе с производными до порядка. Из формулы (10.13) видно, что при должны совпасть как значения функций , так и значения их производных до порядка. Таким образом, представляет собой обобщенный интерполяционный полином Лагранжа, принимающий вместе с производными до порядка заданные наперед значения в каждой из точек Для случая, когда все из формулы (10.13) получается формула (10.5).

Вернемся теперь к уравнению (10.1), которое перепишем в виде

Предположим, что характеристическое уравнение имеет корней: кратности кратности кратности Выделяя из целую часть разложим оставшуюся правильную дробь по формуле (10.11). В результате имеем

Для уравнения (10.1) членам с соответствуют некоторые частные решения. Интерпретация символического выражения

получается, если заметить, что эта функция при воздействии на нее оператора должна воспроизводить т. е. она представляет собой частное решение дифференциального уравнения

Так как для любой функции имеют место соотношения

то из (10.17) получаем

Будем искать частное решение (10.17) в виде

откуда

Легко проверить, что

поэтому получаем

т. е. выражение (10.18) действительно является частным решением уравнения (10.17).

Подставляя решение (10.18) во внутреннюю сумму решения (10.15), находим

Общее решение матричного уравнения (10.1) записывается в виде

Здесь (см. (7.14)) есть общее решение однородного уравнения, а определяется формулой